Álgebra Ejemplos

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} - \frac{1}{x}$

Paso 1

Para escribir $\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$ .

$\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Paso 3

Escribe cada expresión con un denominador común de $\frac{2}{y} x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} \div \frac{2}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2}{y} x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Paso 3.2

Combina $\frac{2}{y}$ y $x$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$

Paso 3.3

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{\frac{2}{y}}{\frac{2}{y}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{x \frac{2}{y}}$

Paso 3.4

Combina $x$ y $\frac{2}{y}$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{\frac{x \cdot 2}{y}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x}{\frac{2 x}{y}} - \frac{\frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5

Reescribe $\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x (y)} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{x y} x - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2}}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{\frac{{(2 x)}^{2} - y^{2}}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , donde $a = 2 x$ y $i = y$ .

$\frac{\frac{(2 x + y) (2 x - y)}{y} - \frac{2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{(2 x + y) (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4

Reescribe $\frac{(2 x + y) (2 x - y) - 2}{y}$ en forma factorizada.

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Paso 5.4.1

Expande $(2 x + y) (2 x - y)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x (2 x - y) + y (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x (2 x) + 2 x (- y) + y (2 x - y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{2 x (2 x) + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 x (- y) + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + y (2 x) + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x + y (- y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - y \cdot y - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.8

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 5.4.2.1.8.1

Mueve $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - (y \cdot y) - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.1.8.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 y x - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.2

Suma $- 2 x y$ y $2 y x$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Mueve $y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - 2 x y + 2 x y - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.2.2

Suma $- 2 x y$ y $2 x y$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} + 0 - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$

Paso 5.4.2.3

Suma $4 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{\frac{4 x^{2} - y^{2} - 2}{y}}{\frac{2 x}{y}}$