Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{3 \cdot 5}$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{2}{15} - \frac{1}{15}$

Paso 2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 - 1}{15}$

Paso 2.2.3

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{15}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{1}{15}} [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \cdot 15 [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $15$ por $1$ .

$15 [\begin{array}{c} \frac{2}{5} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{1}{5} & \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $15$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 15 (\frac{2}{5}) & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$[\begin{array}{c} 5 (3) \frac{2}{5} & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.1.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 3 \frac{2}{5} & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.1.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 3 \cdot 2 & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 15 (- \frac{1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} 6 & 15 (\frac{- 1}{3}) \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.3.2

Factoriza $3$ de $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 3 (5) \frac{- 1}{3} \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 6 & 3 \cdot 5 \frac{- 1}{3} \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.3.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 6 & 5 \cdot - 1 \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 15 (- \frac{1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{5}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 15 (\frac{- 1}{5}) & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.5.2

Factoriza $5$ de $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 5 (3) \frac{- 1}{5} & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.5.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 5 \cdot 3 \frac{- 1}{5} & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.5.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ 3 \cdot - 1 & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 15 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Paso 8.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.7.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 3 (5) \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 8.7.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 3 \cdot 5 \frac{1}{3} \end{array}]$

Paso 8.7.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} 6 & - 5 \\ - 3 & 5 \end{array}]$