Álgebra Ejemplos

$[\begin{array}{c} \frac{40}{13} & \frac{70}{13} \\ \frac{28}{13} & \frac{140}{13} \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\frac{40}{13} \cdot \frac{140}{13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\frac{40}{13} \cdot \frac{140}{13}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica $\frac{40}{13}$ por $\frac{140}{13}$ .

$\frac{40 \cdot 140}{13 \cdot 13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $40$ por $140$ .

$\frac{5600}{13 \cdot 13} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $13$ por $13$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- \frac{28}{13} \cdot \frac{70}{13}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $\frac{70}{13}$ por $\frac{28}{13}$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{70 \cdot 28}{13 \cdot 13}$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $70$ por $28$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{1960}{13 \cdot 13}$

Paso 2.2.1.2.3

Multiplica $13$ por $13$ .

$\frac{5600}{169} - \frac{1960}{169}$

Paso 2.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5600 - 1960}{169}$

Paso 2.2.3

Resta $1960$ de $5600$ .

$\frac{3640}{169}$

Paso 2.2.4

Cancela el factor común de $3640$ y $169$ .

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Paso 2.2.4.1

Factoriza $13$ de $3640$ .

$\frac{13 (280)}{169}$

Paso 2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.4.2.1

Factoriza $13$ de $169$ .

$\frac{13 \cdot 280}{13 \cdot 13}$

Paso 2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{13 \cdot 280}{13 \cdot 13}$

Paso 2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{280}{13}$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{\frac{280}{13}} [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 (\frac{13}{280}) [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $\frac{13}{280}$ por $1$ .

$\frac{13}{280} [\begin{array}{c} \frac{140}{13} & - \frac{70}{13} \\ - \frac{28}{13} & \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 7

Multiplica $\frac{13}{280}$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{280} \cdot \frac{140}{13} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 8.1

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 8.1.1

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{13}{280} \cdot \frac{140}{13} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.1.2

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{280} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $140$ .

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Paso 8.2.1

Factoriza $140$ de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{140 (2)} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{140 \cdot 2} \cdot 140 & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.2.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} (- \frac{70}{13}) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.3

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 8.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{70}{13}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} \cdot \frac{- 70}{13} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.3.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{13}{280} \cdot \frac{- 70}{13} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.3.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{280} \cdot - 70 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.4

Cancela el factor común de $70$ .

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Paso 8.4.1

Factoriza $70$ de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 (4)} \cdot - 70 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.4.2

Factoriza $70$ de $- 70$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 \cdot 4} \cdot (70 \cdot - 1) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.4.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{70 \cdot 4} \cdot (70 \cdot - 1) \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.4.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \cdot - 1 \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & \frac{- 1}{4} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} (- \frac{28}{13}) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.7

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 8.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{28}{13}$ al numerador.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} \cdot \frac{- 28}{13} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.7.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{13}{280} \cdot \frac{- 28}{13} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.7.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{280} \cdot - 28 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.8

Cancela el factor común de $28$ .

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Paso 8.8.1

Factoriza $28$ de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 (10)} \cdot - 28 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.8.2

Factoriza $28$ de $- 28$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 \cdot 10} \cdot (28 \cdot - 1) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.8.3

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{28 \cdot 10} \cdot (28 \cdot - 1) & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.8.4

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{10} \cdot - 1 & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.9

Combina $\frac{1}{10}$ y $- 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ \frac{- 1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.11

Cancela el factor común de $13$ .

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Paso 8.11.1

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{13}{280} \cdot \frac{40}{13} \end{array}]$

Paso 8.11.2

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{280} \cdot 40 \end{array}]$

Paso 8.12

Cancela el factor común de $40$ .

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Paso 8.12.1

Factoriza $40$ de $280$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{40 (7)} \cdot 40 \end{array}]$

Paso 8.12.2

Cancela el factor común.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{40 \cdot 7} \cdot 40 \end{array}]$

Paso 8.12.3

Reescribe la expresión.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & - \frac{1}{4} \\ - \frac{1}{10} & \frac{1}{7} \end{array}]$