Álgebra Ejemplos

$\sqrt[3]{8^{x}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt[3]{8^{y}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt[3]{8^{y}} = x$ .

$\sqrt[3]{8^{y}} = x$

Paso 2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{8^{y}}}^{3} = x^{3}$

Paso 2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{8^{y}}$ como $8^{\frac{y}{3}}$ .

${(8^{\frac{y}{3}})}^{3} = x^{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(8^{\frac{y}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$8^{\frac{y}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$8^{y} = x^{3}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (8^{y}) = \ln (x^{3})$

Paso 2.4.2

Expande $\ln (8^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (8) = \ln (x^{3})$

Paso 2.4.3

Divide cada término en $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ por $\ln (8)$ y simplifica.

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Paso 2.4.3.1

Divide cada término en $y \ln (8) = \ln (x^{3})$ por $\ln (8)$ .

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Paso 2.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.3.2.1

Cancela el factor común de $\ln (8)$ .

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Paso 2.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (8)}{\ln (8)} = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Paso 2.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{8^{x}})}^{3})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.3

Reescribe ${\sqrt[3]{8^{x}}}^{3}$ como $8^{x}$ .

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Paso 4.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{8^{x}}$ como $8^{\frac{x}{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln ({(8^{\frac{x}{3}})}^{3})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x}{3} \cdot 3})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.3.3

Combina $\frac{x}{3}$ y $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.3.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{\frac{x \cdot 3}{3}})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.3.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{\ln (8^{x})}{\ln (8)}$

Paso 4.2.4

Expande $\ln (8^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Paso 4.2.5

Cancela el factor común de $\ln (8)$ .

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Paso 4.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = \frac{x \ln (8)}{\ln (8)}$

Paso 4.2.5.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{8^{x}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}}}$

Paso 4.3.3

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{8^{\log_{8} (x^{3})}}$

Paso 4.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Paso 4.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f (\frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt[3]{8^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3})}{\ln (8)}$