Álgebra Ejemplos

$\frac{36^{x}}{6^{x}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{36^{y}}{6^{y}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} = x$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $6^{y}$ .

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Paso 2.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común de $6^{y}$ .

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Paso 2.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{36^{y}}{6^{y}} \cdot 6^{y} = x \cdot 6^{y}$

Paso 2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$36^{y} = x \cdot 6^{y}$

Paso 2.4

Resuelve $y$

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Paso 2.4.1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (36^{y}) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Paso 2.4.2

Expande $\ln (36^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (36) = \ln (x \cdot 6^{y})$

Paso 2.4.3

Reescribe $\ln (x \cdot 6^{y})$ como $\ln (x) + \ln (6^{y})$ .

$y \ln (36) = \ln (x) + \ln (6^{y})$

Paso 2.4.4

Expande $\ln (6^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (36) = \ln (x) + y \ln (6)$

Paso 2.4.5

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 2.4.5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (36) - \ln (x) - y \ln (6) = 0$

Paso 2.4.5.2

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$y \ln (36) - y \ln (6) = \ln (x)$

Paso 2.4.5.3

Factoriza $y$ de $y \ln (36) - y \ln (6)$ .

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Paso 2.4.5.3.1

Factoriza $y$ de $y \ln (36)$ .

$y (\ln (36)) - y \ln (6) = \ln (x)$

Paso 2.4.5.3.2

Factoriza $y$ de $- y \ln (6)$ .

$y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Paso 2.4.5.3.3

Factoriza $y$ de $y (\ln (36)) + y (- 1 \ln (6))$ .

$y (\ln (36) - 1 \ln (6)) = \ln (x)$

Paso 2.4.5.4

Reescribe $- 1 \ln (6)$ como $- \ln (6)$ .

$y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$

Paso 2.4.5.5

Divide cada término en $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ por $\ln (36) - \ln (6)$ y simplifica.

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Paso 2.4.5.5.1

Divide cada término en $y (\ln (36) - \ln (6)) = \ln (x)$ por $\ln (36) - \ln (6)$ .

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 2.4.5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.5.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (36) - \ln (6)$ .

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Paso 2.4.5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (\ln (36) - \ln (6))}{\ln (36) - \ln (6)} = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 2.4.5.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (\frac{36^{x}}{6^{x}})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Usa la potencia de la regla del cociente $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln ({(\frac{36}{6})}^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 4.2.3.2

Divide $36$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (36) - \ln (6)}$

Paso 4.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.4.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (\frac{36}{6})}$

Paso 4.2.4.2

Divide $36$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

Paso 4.2.5

Expande $\ln (6^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Paso 4.2.6

Cancela el factor común de $\ln (6)$ .

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Paso 4.2.6.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

Paso 4.2.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{36^{x}}{6^{x}}) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Paso 4.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.3.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Paso 4.3.3.2

Divide $36$ por $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}}}$

Paso 4.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.4.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{36}{6})}}}$

Paso 4.3.4.2

Divide $36$ por $6$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}$

Paso 4.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.5.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{6^{\log_{6} (x)}}$

Paso 4.3.5.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}) = \frac{36^{\frac{\ln (x)}{\ln (6)}}}{x}$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{36^{x}}{6^{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (36) - \ln (6)}$