Álgebra Ejemplos

$g (x) = \sqrt{x + 5}$ , $x \geq - 5$

Paso 1

Obtén el rango de la función dada.

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Paso 1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

$[0, \infty)$

Paso 1.2

Convierte $[0, \infty)$ en una desigualdad.

$y \geq 0$

Paso 2

Obtén la inversa.

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Paso 2.1

Intercambia las variables.

$x = \sqrt{y + 5}$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y + 5} = x$ .

$\sqrt{y + 5} = x$

Paso 2.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 5}}^{2} = x^{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 2.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 5}$ como ${(y + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.3.2.1

Simplifica ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 2.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 5)}^{1} = x^{2}$

Paso 2.2.3.2.1.2

Simplifica.

$y + 5 = x^{2}$

Paso 2.2.4

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 5$

Paso 2.3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 5$

Paso 3

Obtén la inversa mediante el dominio y el rango de la función original.

$g^{- 1} (x) = x^{2} - 5, x \geq 0$

Paso 4