Álgebra Ejemplos

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (x^{y} + \ln (x y))$

Paso 2

La derivada de $z$ con respecto a $x$ es $z'$ .

$z'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{y} + \ln (x y)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{y}] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x y$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} (y \cdot 1)$

Paso 3.2.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x y} y$

Paso 3.2.5

Combina $\frac{1}{x y}$ y $y$ .

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Paso 3.2.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.6.1

Cancela el factor común.

$y x^{y - 1} + \frac{y}{x y}$

Paso 3.2.6.2

Reescribe la expresión.

$y x^{y - 1} + \frac{1}{x}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Combina los términos.

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Paso 3.3.1.1

Para escribir $y x^{y - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y x^{y - 1} x}{x} + \frac{1}{x}$

Paso 3.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y x^{y - 1} x + 1}{x}$

Paso 3.3.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{y (x^{1} x^{y - 1}) + 1}{x}$

Paso 3.3.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y x^{1 + y - 1} + 1}{x}$

Paso 3.3.1.5

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{y x^{y + 0} + 1}{x}$

Paso 3.3.1.6

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Paso 3.3.2

Reordena los términos.

$\frac{x^{y} y + 1}{x}$

Paso 3.3.3

Reordena los factores en $\frac{x^{y} y + 1}{x}$ .

$\frac{y x^{y} + 1}{x}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$z' = \frac{y x^{y} + 1}{x}$

Paso 5

Reemplaza $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = \frac{y x^{y} + 1}{x}$