Álgebra Ejemplos

$z = x^{y} + \ln (x y)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (z) = \frac{d}{d y} (x^{y} + \ln (x y))$

Paso 2

Como $z$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $z$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{y} + \ln (x y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{y}] + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{y}]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la potencia generalizada, que establece que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ es $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ donde $f = x$ y $g = y$ .

$\frac{d}{d y} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Paso 3.2.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d y} [y] (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + 1 (x^{y} \ln (x)) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Paso 3.2.4

Multiplica $x^{y}$ por $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d y} [\ln (x y)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\ln (x y)]$ .

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Paso 3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = x y$ .

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Paso 3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.3.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Paso 3.3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x \cdot 1 + y x')$

Paso 3.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} (x + y x')$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{x y} x + \frac{1}{x y} (y x')$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Combina $\frac{1}{x y}$ y $x$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Paso 3.4.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{x}{x y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Paso 3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{1}{x y} (y x')$

Paso 3.4.2.3

Combina $y$ y $\frac{1}{x y}$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y}{x y} x'$

Paso 3.4.2.4

Combina $\frac{y}{x y}$ y $x'$ .

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Paso 3.4.2.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.4.2.5.1

Cancela el factor común.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{y x'}{x y}$

Paso 3.4.2.5.2

Reescribe la expresión.

$x' (y x^{y - 1}) + x^{y} \ln (x) + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.6

Para escribir $x' (y x^{y - 1})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y}{y} + \frac{1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (y x^{y - 1}) y + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.8

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.9

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) (y^{1} y^{1}) + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{1 + 1} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$x^{y} \ln (x) + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.12

Para escribir $x^{y} \ln (x)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y}{y} + \frac{x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.14

Para escribir $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x}$

Paso 3.4.2.15

Para escribir $\frac{x'}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 3.4.2.16

Escribe cada expresión con un denominador común de $y x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.4.2.16.1

Multiplica $\frac{x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x'}{x} \cdot \frac{y}{y}$

Paso 3.4.2.16.2

Multiplica $\frac{x'}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{y x} + \frac{x' y}{x y}$

Paso 3.4.2.16.3

Reordena los factores de $y x$ .

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x}{x y} + \frac{x' y}{x y}$

Paso 3.4.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) x + x' y}{x y}$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y + x' (x^{y - 1}) y^{2} + 1) + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x^{y} \ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica.

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Paso 3.4.4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{y}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.2.1.1

Mueve $x^{y}$ .

$\frac{x^{y} x (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Multiplica $x^{y}$ por $x$ .

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Paso 3.4.4.2.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{y} x^{1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x (x' (x^{y - 1}) y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{y - 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.4.2.2.1

Mueve $x^{y - 1}$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.2.2

Multiplica $x^{y - 1}$ por $x$ .

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Paso 3.4.4.2.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1} x^{1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y - 1 + 1} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.2.3

Combina los términos opuestos en $y - 1 + 1$ .

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Paso 3.4.4.2.2.3.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y + 0} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.2.3.2

Suma $y$ y $0$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x \cdot 1 + y x'}{x y}$

Paso 3.4.4.2.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$

Paso 3.4.5

Reordena los factores en $\frac{x^{y + 1} (\ln (x) y) + x^{y} (x' y^{2}) + x + y x'}{x y}$ .

$\frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'}{x y}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x' = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $x'$ .

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Paso 5.2.1

Reordena los factores en $y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x^{y} x' + x + y x'$ .

$y x^{y + 1} \ln (x) + y^{2} x' x^{y} + x + y x' = 0$

Paso 5.2.2

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Resta $y x^{y + 1} \ln (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x' x^{y} + x + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x)$

Paso 5.2.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} x' x^{y} + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Paso 5.2.3

Factoriza $y x'$ de $y^{2} x' x^{y} + y x'$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $y x'$ de $y^{2} x' x^{y}$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Paso 5.2.3.2

Factoriza $y x'$ de $y x'$ .

$y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1 = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Paso 5.2.3.3

Factoriza $y x'$ de $y x' (y x^{y}) + y x' \cdot 1$ .

$y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$

Paso 5.2.4

Divide cada término en $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ por $y (y x^{y} + 1)$ y simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Divide cada término en $y x' (y x^{y} + 1) = - y x^{y + 1} \ln (x) - x$ por $y (y x^{y} + 1)$ .

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y x' (y x^{y} + 1)}{y (y x^{y} + 1)} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.2.2

Cancela el factor común de $y x^{y} + 1$ .

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Paso 5.2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (y x^{y} + 1)}{y x^{y} + 1} = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x)}{y (y x^{y} + 1)} + \frac{- x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- y x^{y + 1} \ln (x) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- y x^{y + 1} \ln (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (y x^{y + 1} \ln (x)) - (x)$ .

$x' = \frac{- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.4.3.5.1

Reescribe $- (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ como $- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)$ .

$x' = \frac{- 1 (y x^{y + 1} \ln (x) + x)}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 5.2.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{y x^{y + 1} \ln (x) + x}{y (y x^{y} + 1)}$