Álgebra Ejemplos

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} \geq 3$

Paso 1

Resuelve $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ .

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} + 2 x - 8$ .

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} + 2 x - 8$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{x^{2} + 2 x - 8} (x^{2} + 2 x - 8) = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Paso 1.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$5 x = 3 (x^{2} + 2 x - 8)$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.1

Simplifica $3 (x^{2} + 2 x - 8)$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x = 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot - 8$

Paso 1.2.2.1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.2.1.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot - 8$

Paso 1.2.2.1.2.2

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$5 x = 3 x^{2} + 6 x - 24$

Paso 1.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x^{2} + 6 x - 24 = 5 x$

Paso 1.3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + 6 x - 24 - 5 x = 0$

Paso 1.3.2.2

Resta $5 x$ de $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 24 = 0$

Paso 1.3.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.3.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica por $1$ .

$3 x^{2} + 1 x - 24 = 0$

Paso 1.3.3.1.2

Reescribe $1$ como $- 8$ más $9$

$3 x^{2} + (- 8 + 9) x - 24 = 0$

Paso 1.3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} - 8 x + 9 x - 24 = 0$

Paso 1.3.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.3.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x^{2} - 8 x) + 9 x - 24 = 0$

Paso 1.3.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (3 x - 8) + 3 (3 x - 8) = 0$

Paso 1.3.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 8$ .

$(3 x - 8) (x + 3) = 0$

Paso 1.3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 1.3.5

Establece $3 x - 8$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.3.5.1

Establece $3 x - 8$ igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Paso 1.3.5.2

Resuelve $3 x - 8 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.3.5.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 8$

Paso 1.3.5.2.2

Divide cada término en $3 x = 8$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.3.5.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 1.3.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.3.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Paso 1.3.5.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Paso 1.3.6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.3.6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 1.3.6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 1.3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x - 8) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = \frac{8}{3}, - 3$

Paso 1.4

Obtén el dominio de $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)} - 3$ .

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Paso 1.4.1

Establece el denominador en $\frac{5 x}{(x - 2) (x + 4)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x - 2) (x + 4) = 0$

Paso 1.4.2

Resuelve $x$

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Paso 1.4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 1.4.2.2

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.2.2.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.4.2.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.4.2.3

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.4.2.3.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 1.4.2.3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 1.4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 2, - 4$

Paso 1.4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 1.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$2 < x < \frac{8}{3}$

$x > \frac{8}{3}$

Paso 1.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 1.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (- 6)}{{(- 6)}^{2} + 2 (- 6) - 8} \geq 3$

Paso 1.6.1.3

$- 1.875$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3.5$

Paso 1.6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3.5$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (- 3.5)}{{(- 3.5)}^{2} + 2 (- 3.5) - 8} \geq 3$

Paso 1.6.2.3

$6.\overline{36}$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.3

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.6.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (0)}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 8} \geq 3$

Paso 1.6.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.4

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < \frac{8}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.4.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < \frac{8}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.33$

Paso 1.6.4.2

Reemplaza $x$ con $2.33$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (2.33)}{{(2.33)}^{2} + 2 (2.33) - 8} \geq 3$

Paso 1.6.4.3

$5.57709799$ del lado izquierdo es mayor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.6.5

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{8}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.6.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{8}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 1.6.5.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{5 (5)}{{(5)}^{2} + 2 (5) - 8} \geq 3$

Paso 1.6.5.3

$0.\overline{925}$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.6.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{8}{3}$ Verdadero

$x > \frac{8}{3}$ Falso

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{8}{3}$ Verdadero

$x > \frac{8}{3}$ Falso

Paso 1.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 < x \leq - 3$ o $2 < x \leq \frac{8}{3}$

Paso 2

Usa la desigualdad $- 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}$ para crear la notación de conjunto.

${x | - 4 < x \leq - 3 or 2 < x \leq \frac{8}{3}}$

Paso 3