Álgebra Ejemplos

$y = 1 + \sqrt{5 x}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + {(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

Aplica la regla del producto a $5 (x)$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.3

Como $5^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 4.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 4.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 4.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 4.2.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 4.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 + 5^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 4.2.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + 5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.2.11

Combina $5^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 4.2.12

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.3

Suma $0$ y $\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$