Álgebra Ejemplos

$x^{2} + 77 = {(2 + y^{2})}^{4}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + 77) = \frac{d}{d x} ({(2 + y^{2})}^{4})$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 77$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [77]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [77]$

Paso 2.3

Como $77$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $77$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 0$

Paso 2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 x$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{d}{d x} [2^{4} + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 2^{3} y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 4 \cdot 8 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $4$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 2^{2} {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 6 \cdot 4 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.5

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 {(y^{2})}^{2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.6

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{2 \cdot 2} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 4 \cdot 2 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 {(y^{2})}^{3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.8

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{3}$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{2 \cdot 3} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + {(y^{2})}^{4}]$

Paso 3.2.1.9

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{4}$ .

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Paso 3.2.1.9.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{2 \cdot 4}]$

Paso 3.2.1.9.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{d}{d x} [16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}]$

Paso 3.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $16 + 32 y^{2} + 24 y^{4} + 8 y^{6} + y^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.2.3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.2.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [32 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.2.5

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $32 y^{2}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$32 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$32 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$32 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $32$ .

$64 (y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + \frac{d}{d x} [24 y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.6

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 y^{4}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$64 y y' + 24 \frac{d}{d x} [y^{4}] + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$64 y y' + 24 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$64 y y' + 24 (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$64 y y' + 24 (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.8

Multiplica $4$ por $24$ .

$64 y y' + 96 (y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + \frac{d}{d x} [8 y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.10

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 y^{6}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 \frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{6}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.11.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 8 (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.12

Multiplica $6$ por $8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 (y^{5} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.13

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [y^{8}]$

Paso 3.14

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{8}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.14.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{4}$ como $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + \frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{8}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.14.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ es $n {u_{4}}^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 {u_{4}}^{7} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.14.3

Reemplaza todos los casos de $u_{4}$ con $y$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.15

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x = 64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$ .

$64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Paso 5.2

Factoriza $8 y y'$ de $64 y y' + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $8 y y'$ de $64 y y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 96 y^{3} y' + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Paso 5.2.2

Factoriza $8 y y'$ de $96 y^{3} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 48 y^{5} y' + 8 y^{7} y' = 2 x$

Paso 5.2.3

Factoriza $8 y y'$ de $48 y^{5} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y^{7} y' = 2 x$

Paso 5.2.4

Factoriza $8 y y'$ de $8 y^{7} y'$ .

$8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Paso 5.2.5

Factoriza $8 y y'$ de $8 y y' \cdot 8 + 8 y y' (12 y^{2})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Paso 5.2.6

Factoriza $8 y y'$ de $8 y y' (8 + 12 y^{2}) + 8 y y' (6 y^{4})$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6} = 2 x$

Paso 5.2.7

Factoriza $8 y y'$ de $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4}) + 8 y y' y^{6}$ .

$8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$

Paso 5.3

Divide cada término en $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ por $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}) = 2 x$ por $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.2.3

Cancela el factor común de $8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}$ .

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Paso 5.3.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}{8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}} = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.2.3.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 5.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $8 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

Paso 5.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 x}{2 (4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6}))}$

Paso 5.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{4 y (8 + 12 y^{2} + 6 y^{4} + y^{6})}$