Álgebra Ejemplos

$s = \sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{4 x^{2} + 6 y^{2}}$ como ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (s) = \frac{d}{d x} ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Paso 3

Como $s$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $s$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $4 x^{2} + 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.5.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.6

Diferencia.

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Paso 4.6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.6.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.6.2.2

Mueve ${(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 6 y^{2}]$

Paso 4.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 6 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Paso 4.6.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Paso 4.6.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Paso 4.6.6

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Paso 4.6.7

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 y^{2}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 4.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 6 (2 y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.8

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 (y \frac{d}{d x} [y]))$

Paso 4.9

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$

Paso 4.10

Simplifica.

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Paso 4.10.1

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (8 x + 12 y y')$ .

$(8 x + 12 y y') \frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.2

Multiplica $8 x + 12 y y'$ por $\frac{1}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.3

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$\frac{2 (4 x) + 12 y y'}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.4

Factoriza $2$ de $12 y y'$ .

$\frac{2 (4 x) + 2 (6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.5

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (6 y y')$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.10.6.1

Factoriza $2$ de $2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 ({(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 4.10.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 x + 6 y y')}{2 {(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.7

Factoriza $2$ de $4 x + 6 y y'$ .

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Paso 4.10.7.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\frac{2 (2 x) + 6 y y'}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.7.2

Factoriza $2$ de $6 y y'$ .

$\frac{2 (2 x) + 2 (3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 4.10.7.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x) + 2 (3 y y')$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$0 = \frac{2 (2 x + 3 y y')}{{(4 x^{2} + 6 y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Establece el numerador igual a cero.

$2 (2 x + 3 y y') = 0$

Paso 6.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $2 (2 x + 3 y y') = 0$ por $2$ y simplifica.

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Paso 6.2.1.1

Divide cada término en $2 (2 x + 3 y y') = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x + 3 y y')}{2} = \frac{0}{2}$

Paso 6.2.1.2.1.2

Divide $2 x + 3 y y'$ por $1$ .

$2 x + 3 y y' = \frac{0}{2}$

Paso 6.2.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.1.3.1

Divide $0$ por $2$ .

$2 x + 3 y y' = 0$

Paso 6.2.2

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y y' = - 2 x$

Paso 6.2.3

Divide cada término en $3 y y' = - 2 x$ por $3 y$ y simplifica.

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Paso 6.2.3.1

Divide cada término en $3 y y' = - 2 x$ por $3 y$ .

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Paso 6.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y y'}{3 y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Paso 6.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Paso 6.2.3.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{3 y}$

Paso 6.2.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y}$

Paso 6.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{2 x}{3 y}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3 y}$