Álgebra Ejemplos

$\ln (x^{2} + y^{2}) = x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2})) = \frac{d}{d x} (x y)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.5.2

Multiplica $2 x + 2 y y'$ por $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.5.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 y y'$ .

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $2$ de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $2$ de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} = x y' + y$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1.1

Simplifica $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2}) = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 (x + y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x + 2 (y y') = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1.3.1

Mueve $y$ .

$2 x + 2 y' y = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.1.1.3.2

Reordena $2 x$ y $2 y' y$ .

$2 y' y + 2 x = (x y' + y) (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Expande $(x y' + y) (x^{2} + y^{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' y + 2 x = x y' (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y (x^{2} + y^{2})$

Paso 5.2.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y' y + 2 x = x y' x^{2} + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{2} x^{1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y' y + 2 x = x^{2 + 1} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y \cdot y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.1.2.1.2.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 5.2.2.1.2.1.2.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1} y^{2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{1 + 2}$

Paso 5.2.2.1.2.1.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$2 y' y + 2 x = x^{3} y' + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Paso 5.2.2.1.2.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 5.2.2.1.2.2.1

Reordena $x^{3}$ y $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + x y' y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Paso 5.2.2.1.2.2.2

Reordena $x$ y $y'$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + y x^{2} + y^{3}$

Paso 5.2.2.1.2.2.3

Reordena $y$ y $x^{2}$ .

$2 y' y + 2 x = y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3}$

Paso 5.3

Resuelve $y'$

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Paso 5.3.1

Como $y'$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} = 2 y' y + 2 x$

Paso 5.3.2

Resta $2 y' y$ de ambos lados de la ecuación.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + x^{2} y + y^{3} - 2 y' y = 2 x$

Paso 5.3.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.3.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$y' x^{3} + y' x y^{2} + y^{3} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y$

Paso 5.3.3.2

Resta $y^{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Paso 5.3.4

Factoriza $y'$ de $y' x^{3} + y' x y^{2} - 2 y' y$ .

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Paso 5.3.4.1

Factoriza $y'$ de $y' x^{3}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x) y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $y'$ de $y' x y^{2}$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Paso 5.3.4.3

Factoriza $y'$ de $- 2 y' y$ .

$y' (x^{3}) + y' (x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Paso 5.3.4.4

Factoriza $y'$ de $y' (x^{3}) + y' (x y^{2})$ .

$y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Paso 5.3.4.5

Factoriza $y'$ de $y' (x^{3} + x y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$

Paso 5.3.5

Divide cada término en $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ por $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ y simplifica.

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Paso 5.3.5.1

Divide cada término en $y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} y - y^{3}$ por $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{3} + x y^{2} - 2 y$ .

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Paso 5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{3} + x y^{2} - 2 y)}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{2 x}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.5.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.3.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y}{x^{3} + x y^{2} - 2 y} - \frac{y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 5.3.5.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} y - y^{3}}{x^{3} + x y^{2} - 2 y}$