Álgebra Ejemplos

$x^{4} {(a - 2 x^{3})}^{2}$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ es $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ donde $f (a) = x^{4}$ y $g (a) = {(a - 2 x^{3})}^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [{(a - 2 x^{3})}^{2}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 2

Reescribe ${(a - 2 x^{3})}^{2}$ como $(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3

Expande $(a - 2 x^{3}) (a - 2 x^{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a (a - 2 x^{3}) - 2 x^{3} (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a \cdot a + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} (a - 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a \cdot a + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $a$ por $a$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} + a (- 2 x^{3}) - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 x^{3} (- 2 x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{3} x^{3}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.1.4

Multiplica $x^{3}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 (x^{3} x^{3})] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{3 + 3}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.1.4.3

Suma $3$ y $3$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a - 2 \cdot - 2 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 x^{3} a + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.2

Resta $2 x^{3} a$ de $- 2 a x^{3}$ .

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Paso 4.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 2 a x^{3} - 2 a x^{3} + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 4.2.2

Resta $2 a x^{3}$ de $- 2 a x^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a x^{3} + 4 x^{6}] + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 5

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} - 4 a x^{3} + 4 x^{6}$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{4} (2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a x^{3}] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 7

Como $- 4 x^{3}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 4 a x^{3}$ con respecto a $a$ es $- 4 x^{3} \frac{d}{d a} [a]$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 9

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} + \frac{d}{d a} [4 x^{6}]) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 10

Como $4 x^{6}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $4 x^{6}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3} + 0) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 11

Simplifica la expresión.

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Paso 11.1

Suma $2 a - 4 x^{3}$ y $0$ .

$x^{4} (2 a - 4 x^{3}) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 11.2

Reordena los términos.

$x^{4} (- 4 x^{3} + 2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 12

Como $x^{4}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $x^{4}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$x^{4} (- 4 x^{3} + 2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} (- 4 x^{3}) + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$x^{3} x^{4} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3 + 4} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13.2.1.3

Suma $3$ y $4$ .

$x^{7} \cdot - 4 + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13.2.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x^{7}$ .

$- 4 \cdot x^{7} + x^{4} (2 a) + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13.2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$- 4 x^{7} + 2 \cdot x^{4} a + {(a - 2 x^{3})}^{2} \cdot 0$

Paso 13.2.4

Multiplica ${(a - 2 x^{3})}^{2}$ por $0$ .

$- 4 x^{7} + 2 x^{4} a + 0$

Paso 13.2.5

Suma $- 4 x^{7} + 2 x^{4} a$ y $0$ .

$- 4 x^{7} + 2 x^{4} a$