Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{2} x - 3 y = 8$ , $y = 4 x + 1$

Paso 1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} - 3 y = 8$

Paso 1.3

Resta $\frac{x}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 y = 8 - \frac{x}{2}$

Paso 1.4

Divide cada término en $- 3 y = 8 - \frac{x}{2}$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.4.1

Divide cada término en $- 3 y = 8 - \frac{x}{2}$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{8}{- 3} + \frac{- \frac{x}{2}}{- 3}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{8}{- 3} + \frac{- \frac{x}{2}}{- 3}$

Paso 1.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{8}{- 3} + \frac{- \frac{x}{2}}{- 3}$

Paso 1.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{8}{3} + \frac{- \frac{x}{2}}{- 3}$

Paso 1.4.3.1.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = - \frac{8}{3} - \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{- 3}$

Paso 1.4.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{8}{3} - \frac{x}{2} (- \frac{1}{3})$

Paso 1.4.3.1.4

Multiplica $- \frac{x}{2} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 1.4.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - \frac{8}{3} + 1 \frac{x}{2} \frac{1}{3}$

Paso 1.4.3.1.4.2

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$y = - \frac{8}{3} + \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 1.4.3.1.4.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{8}{3} + \frac{x}{2 \cdot 3}$

Paso 1.4.3.1.4.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = - \frac{8}{3} + \frac{x}{6}$

Paso 1.5

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 1.5.1

Reordena $- \frac{8}{3}$ y $\frac{x}{6}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{8}{3}$

Paso 1.5.2

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{6} x - \frac{8}{3}$

Paso 2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $\frac{1}{6}$ .

$m_{1} = \frac{1}{6}$

Paso 3

Usa la ecuación explícita para obtener la pendiente.

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Paso 3.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 3.2

Mediante la ecuación explícita, la pendiente es $4$ .

$m_{2} = 4$

Paso 4

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener los puntos de intersección.

$\frac{1}{2} x - 3 y = 8, y = 4 x + 1$

Paso 5

Resuelve el sistema de ecuaciones para obtener el punto de intersección.

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Paso 5.1

Reemplaza todos los casos de $y$ por $4 x + 1$ en cada ecuación.

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Paso 5.1.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $\frac{1}{2} x - 3 y = 8$ por $4 x + 1$ .

$\frac{1}{2} x - 3 (4 x + 1) = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.2.1

Simplifica $\frac{1}{2} x - 3 (4 x + 1)$ .

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Paso 5.1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} - 3 (4 x + 1) = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{2} - 3 (4 x) - 3 \cdot 1 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.1.3

Multiplica $4$ por $- 3$ .

$\frac{x}{2} - 12 x - 3 \cdot 1 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{x}{2} - 12 x - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$\frac{x}{2} - 12 x - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.2

Para escribir $- 12 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} - 12 x \cdot \frac{2}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.1.2.1.3.1

Combina $- 12 x$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{- 12 x \cdot 2}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 12 x \cdot 2}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$\frac{x - 12 x \cdot 2}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.2.1.4.1.1

Factoriza $x$ de $x - 12 x \cdot 2$ .

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Paso 5.1.2.1.4.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x - 12 x \cdot 2}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.1.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 12 x \cdot 2}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.1.1.3

Factoriza $x$ de $- 12 x \cdot 2$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 12 \cdot 2)}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.1.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 12 \cdot 2)$ .

$\frac{x (1 - 12 \cdot 2)}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$\frac{x (1 - 12 \cdot 2)}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.1.2

Multiplica $- 12$ por $2$ .

$\frac{x (1 - 24)}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.1.3

Resta $24$ de $1$ .

$\frac{x \cdot - 23}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$\frac{x \cdot - 23}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.2

Mueve $- 23$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 23 \cdot x}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.1.2.1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{23 x}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$- \frac{23 x}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$- \frac{23 x}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$- \frac{23 x}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

$- \frac{23 x}{2} - 3 = 8$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2

Resuelve $x$ en $- \frac{23 x}{2} - 3 = 8$ .

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Paso 5.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{23 x}{2} = 8 + 3$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.1.2

Suma $8$ y $3$ .

$- \frac{23 x}{2} = 11$

$y = 4 x + 1$

$- \frac{23 x}{2} = 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{2}{23}$ .

$- \frac{2}{23} \cdot (- \frac{23 x}{2}) = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.1.1

Simplifica $- \frac{2}{23} (- \frac{23 x}{2})$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{23}$ al numerador.

$\frac{- 2}{23} \cdot (- \frac{23 x}{2}) = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{23 x}{2}$ al numerador.

$\frac{- 2}{23} \cdot \frac{- 23 x}{2} = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{23} \cdot \frac{- 23 x}{2} = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 1}{23} \cdot \frac{- 23 x}{2} = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{23} \cdot (- 23 x) = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

$\frac{- 1}{23} \cdot (- 23 x) = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $23$ .

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Paso 5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $23$ de $- 23 x$ .

$\frac{- 1}{23} \cdot (23 (- x)) = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{23} \cdot (23 (- x)) = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 5.2.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.1.1.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{2}{23} \cdot 11$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.2.1

Simplifica $- \frac{2}{23} \cdot 11$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Multiplica $- \frac{2}{23} \cdot 11$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1.1

Multiplica $11$ por $- 1$ .

$x = - 11 (\frac{2}{23})$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.2.1.1.2

Combina $- 11$ y $\frac{2}{23}$ .

$x = \frac{- 11 \cdot 2}{23}$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.2.1.1.3

Multiplica $- 11$ por $2$ .

$x = \frac{- 22}{23}$

$y = 4 x + 1$

$x = \frac{- 22}{23}$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.2.3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{22}{23}$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = 4 x + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = 4 x + 1$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- \frac{22}{23}$ en cada ecuación.

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Paso 5.3.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = 4 x + 1$ por $- \frac{22}{23}$ .

$y = 4 (- \frac{22}{23}) + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $4 (- \frac{22}{23}) + 1$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.2.1.1.1

Multiplica $4 (- \frac{22}{23})$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$y = - 4 (\frac{22}{23}) + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.1.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{22}{23}$ .

$y = \frac{- 4 \cdot 22}{23} + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.1.1.3

Multiplica $- 4$ por $22$ .

$y = \frac{- 88}{23} + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = \frac{- 88}{23} + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{88}{23} + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = - \frac{88}{23} + 1$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = - \frac{88}{23} + \frac{23}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 88 + 23}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Suma $- 88$ y $23$ .

$y = \frac{- 65}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.3.2.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{65}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = - \frac{65}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = - \frac{65}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = - \frac{65}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

$y = - \frac{65}{23}$

$x = - \frac{22}{23}$

Paso 5.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- \frac{22}{23}, - \frac{65}{23})$

Paso 6

Como las pendientes son diferentes, las líneas tendrán exactamente un punto de intersección.

$m_{1} = \frac{1}{6}$

$m_{2} = 4$

$(- \frac{22}{23}, - \frac{65}{23})$

Paso 7