Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11$

Paso 2

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\frac{1}{16} x^{2} - 8 x + 11 = y$

Paso 3

Resta $11$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{16} x^{2} - 8 x = y - 11$

Paso 4

Completa el cuadrado.

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Paso 4.1

Combina $\frac{1}{16}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{16} - 8 x = y - 11$

Paso 4.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{16}$

$b = - 8$

$c = 0 = y - 11$

Paso 4.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e = y - 11$

Paso 4.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 (\frac{1}{16})}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 4.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (\frac{1}{16})}$

Paso 4.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (\frac{1}{16})}$

Paso 4.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{\frac{1}{16}}$

Paso 4.4.2.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = - 4 \cdot 16$

Paso 4.4.2.3

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$d = - 64$

Paso 4.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 (\frac{1}{16})}$

Paso 4.5.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{16}$ .

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4}{16}}$

Paso 4.5.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 4.5.2.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4 (1)}{16}}$

Paso 4.5.2.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.5.2.1.3.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 4.5.2.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{64}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}}$

Paso 4.5.2.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{64}{\frac{1}{4}}$

Paso 4.5.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (64 \cdot 4)$

Paso 4.5.2.1.5

Multiplica $- (64 \cdot 4)$ .

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Paso 4.5.2.1.5.1

Multiplica $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 256$

Paso 4.5.2.1.5.2

Multiplica $- 1$ por $256$ .

$e = 0 - 256$

Paso 4.5.2.2

Resta $256$ de $0$ .

$e = - 256$

Paso 4.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{16} {(x - 64)}^{2} - 256$ .

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} - 256 = y - 11$

Paso 5

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1

Suma $256$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y - 11 + 256$

Paso 5.2

Suma $- 11$ y $256$ .

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y + 245$

Paso 6

Multiplica cada término en $\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y + 245$ por $16$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} = y + 245$ por $16$ .

$\frac{1}{16} \cdot {(x - 64)}^{2} \cdot 16 = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Combina $\frac{1}{16}$ y ${(x - 64)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 64)}^{2}}{16} \cdot 16 = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Paso 6.2.2

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(x - 64)}^{2}}{16} \cdot 16 = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Paso 6.2.2.2

Reescribe la expresión.

${(x - 64)}^{2} = y \cdot 16 + 245 \cdot 16$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.1.1

Mueve $16$ a la izquierda de $y$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 \cdot y + 245 \cdot 16$

Paso 6.3.1.2

Multiplica $245$ por $16$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 y + 3920$

Paso 7

Factoriza $16$ de $16 y + 3920$ .

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Paso 7.1

Factoriza $16$ de $16 y$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 (y) + 3920$

Paso 7.2

Factoriza $16$ de $3920$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 y + 16 \cdot 245$

Paso 7.3

Factoriza $16$ de $16 y + 16 \cdot 245$ .

${(x - 64)}^{2} = 16 (y + 245)$