Álgebra Ejemplos

${(x + \frac{1}{x})}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x)}^{3 - k} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} {(x)}^{3 - 0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} {(x)}^{3 - 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} {(x)}^{3 - 2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} {(x)}^{3 - 3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(x)}^{3}$ por $1$ .

${(x)}^{3} \cdot {(\frac{1}{x})}^{0} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} \cdot \frac{1^{0}}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{x^{0}} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} \cdot \frac{1}{1} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.5

Divide $1$ por $1$ .

$x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.6

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 \cdot {(x)}^{2} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.7

Simplifica.

$x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.8.2

Cancela el factor común.

$x^{3} + x (3 x) \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.8.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot {(x)}^{1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.9

Simplifica.

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot x \cdot {(\frac{1}{x})}^{2} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.10

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} + 3 x + 3 x \cdot \frac{1^{2}}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.11

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} + 3 x + 3 x \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.12

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 4.12.1

Factoriza $x$ de $3 x$ .

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.12.2

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.12.3

Cancela el factor común.

$x^{3} + 3 x + x \cdot 3 \cdot \frac{1}{x \cdot x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.12.4

Reescribe la expresión.

$x^{3} + 3 x + 3 \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.13

Combina $3$ y $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.14

Multiplica ${(x)}^{0}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + {(x)}^{0} \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.15

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + 1 \cdot {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.16

Multiplica ${(\frac{1}{x})}^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + {(\frac{1}{x})}^{3}$

Paso 4.17

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{x}$ .

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Paso 4.18

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x^{3} + 3 x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{3}}$