Álgebra Ejemplos

${(a x - b y)}^{3}$

Paso 1

Usa el teorema de expansión binomial para obtener cada término. El teorema del binomio establece ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(a x)}^{3 - k} \cdot {(- b y)}^{k}$

Paso 2

Expande la suma.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(a x)}^{3 - 0} \cdot {(- b y)}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(a x)}^{3 - 1} \cdot {(- b y)}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(a x)}^{3 - 2} \cdot {(- b y)}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(a x)}^{3 - 3} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 3

Simplifica los exponentes para cada término de la expansión.

$1 \cdot {(a x)}^{3} \cdot {(- b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(a x)}^{3}$ por $1$ .

${(a x)}^{3} \cdot {(- b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $a x$ .

$a^{3} x^{3} \cdot {(- b y)}^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.3.1

Aplica la regla del producto a $- b y$ .

$a^{3} x^{3} \cdot ({(- b)}^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$a^{3} x^{3} \cdot ({(- 1)}^{0} b^{0} y^{0}) + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(- 1)}^{0} a^{3} x^{3} b^{0} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$1 a^{3} x^{3} b^{0} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.6

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} b^{0} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.7

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot 1 y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.8

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} y^{0} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{3} x^{3} \cdot 1 + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.10

Multiplica $a^{3}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot {(a x)}^{2} \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.11

Aplica la regla del producto a $a x$ .

$a^{3} x^{3} + 3 \cdot (a^{2} x^{2}) \cdot {(- b y)}^{1} + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.12

Simplifica.

$a^{3} x^{3} + 3 a^{2} x^{2} \cdot (- b y) + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.13

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} (b y) + 3 \cdot {(a x)}^{1} \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.14

Simplifica.

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 \cdot (a x) \cdot {(- b y)}^{2} + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.15

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.15.1

Aplica la regla del producto a $- b y$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot ({(- b)}^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.15.2

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot ({(- 1)}^{2} b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.16

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot (1 b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.17

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x \cdot (b^{2} y^{2}) + 1 \cdot {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.18

Multiplica ${(a x)}^{0}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(a x)}^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $a x$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + a^{0} x^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.20

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 x^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.21

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + x^{0} \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.22

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + 1 \cdot {(- b y)}^{3}$

Paso 4.23

Multiplica ${(- b y)}^{3}$ por $1$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(- b y)}^{3}$

Paso 4.24

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.24.1

Aplica la regla del producto a $- b y$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(- b)}^{3} y^{3}$

Paso 4.24.2

Aplica la regla del producto a $- b$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} + {(- 1)}^{3} b^{3} y^{3}$

Paso 4.25

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$a^{3} x^{3} - 3 a^{2} x^{2} b y + 3 a x b^{2} y^{2} - b^{3} y^{3}$