Álgebra Ejemplos

$81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y + 2009 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Resta $2009$ de ambos lados de la ecuación.

$81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y = - 2009$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $81 x^{2} - 810 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 81$

$b = - 810$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 810}{2 \cdot 81}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 810$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 810$ .

$d = \frac{2 \cdot - 405}{2 \cdot 81}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 81$ .

$d = \frac{2 \cdot - 405}{2 (81)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 405}{2 \cdot 81}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 405}{81}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 405$ y $81$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $81$ de $- 405$ .

$d = \frac{81 \cdot - 5}{81}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.2.1

Factoriza $81$ de $81$ .

$d = \frac{81 \cdot - 5}{81 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{81 \cdot - 5}{81 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.2.4

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 810)}^{2}}{4 \cdot 81}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 810$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{656100}{4 \cdot 81}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $81$ .

$e = 0 - \frac{656100}{324}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $656100$ por $324$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2025$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $2025$ .

$e = 0 - 2025$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $2025$ de $0$ .

$e = - 2025$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $81 {(x - 5)}^{2} - 2025$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - 2025$

Paso 1.3

Sustituye $81 {(x - 5)}^{2} - 2025$ por $81 x^{2} - 810 x$ en la ecuación $81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y = - 2009$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - 2025 - y^{2} - 10 y = - 2009$

Paso 1.4

Mueve $- 2025$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $2025$ a ambos lados.

$81 {(x - 5)}^{2} - y^{2} - 10 y = - 2009 + 2025$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 10 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Paso 1.5.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 5$ como $- - 5$ .

$d = - - 5$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$d = 5$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $100$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $25$ .

$e = 25$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(y + 5)}^{2} + 25$

Paso 1.6

Sustituye $- {(y + 5)}^{2} + 25$ por $- y^{2} - 10 y$ en la ecuación $81 x^{2} - y^{2} - 810 x - 10 y = - 2009$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} + 25 = - 2009 + 2025$

Paso 1.7

Mueve $25$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $25$ a ambos lados.

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 2009 + 2025 - 25$

Paso 1.8

Simplifica $- 2009 + 2025 - 25$ .

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Paso 1.8.1

Suma $- 2009$ y $2025$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 16 - 25$

Paso 1.8.2

Resta $25$ de $16$ .

$81 {(x - 5)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = - 9$

Paso 1.9

Da la vuelta al signo de cada término de la ecuación para que el término del lado derecho sea positivo.

$- 81 {(x - 5)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 9$

Paso 1.10

Divide cada término por $9$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{81 {(x - 5)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 5)}^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Paso 1.11

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(y + 5)}^{2}}{9} - \frac{{(x - 5)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 3$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 5$

$h = 5$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ porque esta hipérbola abre hacia arriba y hacia abajo.

$y = \pm 9 \cdot (x - (5)) - 5$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = 9 \cdot (x - (5)) - 5$

Paso 5.2

Simplifica $9 \cdot (x - (5)) - 5$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = 9 \cdot (x - 5) - 5$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 9 x + 9 \cdot - 5 - 5$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $9$ por $- 5$ .

$y = 9 x - 45 - 5$

Paso 5.2.2

Resta $5$ de $- 45$ .

$y = 9 x - 50$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 9 \cdot (x - (5)) - 5$

Paso 6.2

Simplifica $- 9 \cdot (x - (5)) - 5$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$y = - 9 \cdot (x - 5) - 5$

Paso 6.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 9 x - 9 \cdot - 5 - 5$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 5$ .

$y = - 9 x + 45 - 5$

Paso 6.2.2

Resta $5$ de $45$ .

$y = - 9 x + 40$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = 9 x - 50, y = - 9 x + 40$

Paso 8

Las asíntotas son $y = 9 x - 50$ y $y = - 9 x + 40$ .

Asíntotas: $y = 9 x - 50, y = - 9 x + 40$

Paso 9