Álgebra Ejemplos

$y = \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ no está definida.

$x < 0, x = \sqrt{5}$

Paso 2

Como $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ desde la izquierda y $\frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $\sqrt{5}$ desde la derecha, entonces $x = \sqrt{5}$ es una asíntota vertical.

$x = \sqrt{5}$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2 x^{2} - 10}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 10}{x^{2}}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.3.2

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.2.3.3

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.2.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.3

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{3}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.4

Evalúa el límite.

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Paso 3.4.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{x \to \infty} 2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.4.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}$

Paso 3.4.3

Mueve el término $10$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Paso 3.5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{0}}{2 - 10 \cdot 0}$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{2 - 10 \cdot 0}$

Paso 3.6.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{0}{2 - 10 \cdot 0}$

Paso 3.6.2

Simplifica el denominador.

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Paso 3.6.2.1

Multiplica $- 10$ por $0$ .

$\frac{0}{2 + 0}$

Paso 3.6.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{0}{2}$

Paso 3.6.3

Divide $0$ por $2$ .

$0$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 0$

Paso 5

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = \sqrt{5}$

Asíntotas horizontales: $y = 0$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7