Álgebra Ejemplos

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 72 x = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 72 x$ .

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Paso 1.1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Paso 1.1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $- 72$ y $2$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

Paso 1.1.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 36}{9}$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $- 36$ y $9$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 36$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

Paso 1.1.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

Paso 1.1.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.1.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 72$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Paso 1.1.4.2.1.3

Divide $5184$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Paso 1.1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Paso 1.1.4.2.2

Resta $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Paso 1.1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$

Paso 1.2

Sustituye $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ por $9 x^{2} - 72 x$ en la ecuación $9 x^{2} - 4 y^{2} - 72 x = 0$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144 - 4 y^{2} = 0$

Paso 1.3

Mueve $- 144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$9 {(x - 4)}^{2} - 4 y^{2} = 0 + 144$

Paso 1.4

Suma $0$ y $144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 4 y^{2} = 144$

Paso 1.5

Divide cada término por $144$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{144} - \frac{4 y^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Paso 1.6

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 6$

$k = 0$

$h = 4$

Paso 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(4)}^{2} + {(6)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + {(6)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{16 + 36}$

Paso 4.3.3

Suma $16$ y $36$ .

$\sqrt{52}$

Paso 4.3.4

Reescribe $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$\sqrt{4 (13)}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 13}$

Paso 4.3.5

Retira los términos de abajo del radical.

$2 \sqrt{13}$

Paso 5

Obtén los focos.

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Paso 5.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4 + 2 \sqrt{13}, 0)$

Paso 5.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 5.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4 - 2 \sqrt{13}, 0)$

Paso 5.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(4 + 2 \sqrt{13}, 0), (4 - 2 \sqrt{13}, 0)$

Paso 6