Álgebra Ejemplos

$144 x^{2} + 144 y^{2} + 72 x + 192 y + 37 = 0$

Paso 1

Resta $37$ de ambos lados de la ecuación.

$144 x^{2} + 144 y^{2} + 72 x + 192 y = - 37$

Paso 2

Divide ambos lados de la ecuación por $144$ .

$x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$

Paso 3

Completa el cuadrado de $x^{2} + \frac{x}{2}$ .

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Paso 3.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{1}{2}$

$c = 0$

Paso 3.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Paso 3.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$e = 0 - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4 \cdot 1}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{1}{4}}{4}$

Paso 3.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 3.4.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 3.4.2.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.1.4.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{1}{16}$

Paso 3.4.2.2

Resta $\frac{1}{16}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{16}$

Paso 3.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$

Paso 4

Sustituye ${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16}$ por $x^{2} + \frac{x}{2}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{16} + y^{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$

Paso 5

Mueve $- \frac{1}{16}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{1}{16}$ a ambos lados.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16}$

Paso 6

Completa el cuadrado de $y^{2} + \frac{4 y}{3}$ .

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Paso 6.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{4}{3}$

$c = 0$

Paso 6.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 6.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 6.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Paso 6.3.2.2.3

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 6.3.2.2.4

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{3}$

Paso 6.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 6.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.1.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 6.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

Paso 6.4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 6.4.2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.4.2.1.4.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 6.4.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 6.4.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$e = 0 - \frac{4}{9}$

Paso 6.4.2.2

Resta $\frac{4}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{9}$

Paso 6.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ .

${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

Paso 7

Sustituye ${(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ por $y^{2} + \frac{4 y}{3}$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{x}{2} + \frac{4 y}{3} = - \frac{37}{144}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16}$

Paso 8

Mueve $- \frac{4}{9}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{4}{9}$ a ambos lados.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9}$

Paso 9

Simplifica $- \frac{37}{144} + \frac{1}{16} + \frac{4}{9}$ .

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Paso 9.1

Obtén el denominador común

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Paso 9.1.1

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{1}{16} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9}$

Paso 9.1.2

Multiplica $\frac{1}{16}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4}{9}$

Paso 9.1.3

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4}{9} \cdot \frac{16}{16}$

Paso 9.1.4

Multiplica $\frac{4}{9}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{16 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Paso 9.1.5

Reordena los factores de $16 \cdot 9$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{9 \cdot 16} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Paso 9.1.6

Multiplica $9$ por $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4 \cdot 16}{9 \cdot 16}$

Paso 9.1.7

Multiplica $9$ por $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = - \frac{37}{144} + \frac{9}{144} + \frac{4 \cdot 16}{144}$

Paso 9.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 37 + 9 + 4 \cdot 16}{144}$

Paso 9.3

Simplifica la expresión.

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Paso 9.3.1

Multiplica $4$ por $16$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 37 + 9 + 64}{144}$

Paso 9.3.2

Suma $- 37$ y $9$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{- 28 + 64}{144}$

Paso 9.3.3

Suma $- 28$ y $64$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36}{144}$

Paso 9.4

Cancela el factor común de $36$ y $144$ .

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Paso 9.4.1

Factoriza $36$ de $36$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 (1)}{144}$

Paso 9.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.4.2.1

Factoriza $36$ de $144$ .

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Paso 9.4.2.2

Cancela el factor común.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{36 \cdot 1}{36 \cdot 4}$

Paso 9.4.2.3

Reescribe la expresión.

${(x + \frac{1}{4})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} = \frac{1}{4}$