Álgebra Ejemplos

$\frac{\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}{\sqrt{a + b}}$

Paso 1

Multiplica para racionalizar el numerador.

$\frac{\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Eleva $\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{1} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{1 + 4}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{{\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{5}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4

Reescribe ${\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{5}$ como ${(a + b)}^{4}$ .

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Paso 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}$ como ${(a + b)}^{\frac{4}{5}}$ .

$\frac{{({(a + b)}^{\frac{4}{5}})}^{5}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.3

Combina $\frac{4}{5}$ y $5$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.4

Multiplica $4$ por $5$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{20}{5}}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.5

Cancela el factor común de $20$ y $5$ .

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Paso 2.4.5.1

Factoriza $5$ de $20$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.5.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{{(a + b)}^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(a + b)}^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{{(a + b)}^{\frac{4}{1}}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.4.5.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} {\sqrt[5]{{(a + b)}^{4}}}^{4}}$

Paso 2.5

Comienza la simplificación.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} \sqrt[5]{{({(a + b)}^{4})}^{4}}}$

Paso 2.6

Multiplica los exponentes en ${({(a + b)}^{4})}^{4}$ .

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Paso 2.6.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} \sqrt[5]{{(a + b)}^{4 \cdot 4}}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} \sqrt[5]{{(a + b)}^{16}}}$

Paso 2.7

Reescribe ${(a + b)}^{16}$ como ${({(a + b)}^{3})}^{5} (a + b)$ .

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Paso 2.7.1

Factoriza ${(a + b)}^{15}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} \sqrt[5]{{(a + b)}^{15} (a + b)}}$

Paso 2.7.2

Reescribe ${(a + b)}^{15}$ como ${({(a + b)}^{3})}^{5}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} \sqrt[5]{{({(a + b)}^{3})}^{5} (a + b)}}$

Paso 2.8

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt{a + b} ({(a + b)}^{3} \sqrt[5]{a + b})}$

Paso 2.9

Reescribe la expresión con el índice menos común de $10$ .

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Paso 2.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[5]{a + b}$ como ${(a + b)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{{(a + b)}^{\frac{1}{5}} \sqrt{a + b} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.9.2

Reescribe ${(a + b)}^{\frac{1}{5}}$ como ${(a + b)}^{\frac{2}{10}}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{{(a + b)}^{\frac{2}{10}} \sqrt{a + b} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.9.3

Reescribe ${(a + b)}^{\frac{2}{10}}$ como $\sqrt[10]{{(a + b)}^{2}}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{2}} \sqrt{a + b} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.9.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{a + b}$ como ${(a + b)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{2}} {(a + b)}^{\frac{1}{2}} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.9.5

Reescribe ${(a + b)}^{\frac{1}{2}}$ como ${(a + b)}^{\frac{5}{10}}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{2}} {(a + b)}^{\frac{5}{10}} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.9.6

Reescribe ${(a + b)}^{\frac{5}{10}}$ como $\sqrt[10]{{(a + b)}^{5}}$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{2}} \sqrt[10]{{(a + b)}^{5}} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.10

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{2} {(a + b)}^{5}} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.11

Multiplica ${(a + b)}^{2}$ por ${(a + b)}^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{2 + 5}} {(a + b)}^{3}}$

Paso 2.11.2

Suma $2$ y $5$ .

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} {(a + b)}^{3}}$

Paso 3

Usa el teorema del binomio.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3})}$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} a^{3} + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (3 a^{2} b) + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (3 a b^{2}) + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} b^{3}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} a^{3} + 3 \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (a^{2} b) + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (3 a b^{2}) + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} b^{3}}$

Paso 5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} a^{3} + 3 \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (a^{2} b) + 3 \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} (a b^{2}) + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} b^{3}}$

$\frac{{(a + b)}^{4}}{\sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} a^{3} + 3 \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} a^{2} b + 3 \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} a b^{2} + \sqrt[10]{{(a + b)}^{7}} b^{3}}$