Álgebra Ejemplos

$y = 64 {(x - 2)}^{3} - 1$

Paso 1

Simplifica $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Usa el teorema del binomio.

$y = 64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1$

Paso 1.1.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1$

Paso 1.1.2.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$y = 64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1$

Paso 1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Paso 1.1.4

Simplifica.

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Paso 1.1.4.1

Multiplica $- 6$ por $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1$

Paso 1.1.4.2

Multiplica $12$ por $64$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1$

Paso 1.1.4.3

Multiplica $64$ por $- 8$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1$

Paso 1.2

Resta $1$ de $- 512$ .

$y = 64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513$

Paso 2

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 19, \pm 27, \pm 57, \pm 171, \pm 513$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Paso 3

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{16}, \pm \frac{1}{32}, \pm \frac{1}{64}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{3}{8}, \pm \frac{3}{16}, \pm \frac{3}{32}, \pm \frac{3}{64}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}, \pm \frac{9}{8}, \pm \frac{9}{16}, \pm \frac{9}{32}, \pm \frac{9}{64}, \pm 19, \pm \frac{19}{2}, \pm \frac{19}{4}, \pm \frac{19}{8}, \pm \frac{19}{16}, \pm \frac{19}{32}, \pm \frac{19}{64}, \pm 27, \pm \frac{27}{2}, \pm \frac{27}{4}, \pm \frac{27}{8}, \pm \frac{27}{16}, \pm \frac{27}{32}, \pm \frac{27}{64}, \pm 57, \pm \frac{57}{2}, \pm \frac{57}{4}, \pm \frac{57}{8}, \pm \frac{57}{16}, \pm \frac{57}{32}, \pm \frac{57}{64}, \pm 171, \pm \frac{171}{2}, \pm \frac{171}{4}, \pm \frac{171}{8}, \pm \frac{171}{16}, \pm \frac{171}{32}, \pm \frac{171}{64}, \pm 513, \pm \frac{513}{2}, \pm \frac{513}{4}, \pm \frac{513}{8}, \pm \frac{513}{16}, \pm \frac{513}{32}, \pm \frac{513}{64}$

Paso 4

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$64 {(\frac{9}{4})}^{3} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{9}{4}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{4}$ .

$64 \frac{9^{3}}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.2

Eleva $9$ a la potencia de $3$ .

$64 \frac{729}{4^{3}} - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.4

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 5.1.4.1

Cancela el factor común.

$64 (\frac{729}{64}) - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.4.2

Reescribe la expresión.

$729 - 384 {(\frac{9}{4})}^{2} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{9}{4}$ .

$729 - 384 \frac{9^{2}}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.6

Eleva $9$ a la potencia de $2$ .

$729 - 384 \frac{81}{4^{2}} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.7

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$729 - 384 (\frac{81}{16}) + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.8

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 5.1.8.1

Factoriza $16$ de $- 384$ .

$729 + 16 (- 24) \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.8.2

Cancela el factor común.

$729 + 16 \cdot - 24 \frac{81}{16} + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.8.3

Reescribe la expresión.

$729 - 24 \cdot 81 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.9

Multiplica $- 24$ por $81$ .

$729 - 1944 + 768 (\frac{9}{4}) - 513$

Paso 5.1.10

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.1.10.1

Factoriza $4$ de $768$ .

$729 - 1944 + 4 (192) \frac{9}{4} - 513$

Paso 5.1.10.2

Cancela el factor común.

$729 - 1944 + 4 \cdot 192 \frac{9}{4} - 513$

Paso 5.1.10.3

Reescribe la expresión.

$729 - 1944 + 192 \cdot 9 - 513$

Paso 5.1.11

Multiplica $192$ por $9$ .

$729 - 1944 + 1728 - 513$

Paso 5.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.1

Resta $1944$ de $729$ .

$- 1215 + 1728 - 513$

Paso 5.2.2

Suma $- 1215$ y $1728$ .

$513 - 513$

Paso 5.2.3

Resta $513$ de $513$ .

$0$

Paso 6

Como $\frac{9}{4}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{9}{4}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513}{x - \frac{9}{4}}$

Paso 7

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 7.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

Paso 7.2

El primer número en el dividendo $(64)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$

	$64$

Paso 7.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(64)$ por el divisor $(\frac{9}{4})$ y coloca el resultado de $(144)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 384)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$

Paso 7.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$
	$64$	$- 240$

Paso 7.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 240)$ por el divisor $(\frac{9}{4})$ y coloca el resultado de $(- 540)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(768)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$

Paso 7.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$
	$64$	$- 240$	$228$

Paso 7.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(228)$ por el divisor $(\frac{9}{4})$ y coloca el resultado de $(513)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 513)$ .

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$

Paso 7.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{9}{4}$	$64$	$- 384$	$768$	$- 513$
		$144$	$- 540$	$513$
	$64$	$- 240$	$228$	$0$

Paso 7.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$64 x^{2} + - 240 x + 228$

Paso 7.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$64 x^{2} - 240 x + 228$

Paso 8

Factoriza $4$ de $64 x^{2} - 240 x + 228$ .

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Paso 8.1

Factoriza $4$ de $64 x^{2}$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) - 240 x + 228)$

Paso 8.2

Factoriza $4$ de $- 240 x$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 228)$

Paso 8.3

Factoriza $4$ de $228$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x) + 4 (57))$

Paso 8.4

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 60 x)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57))$

Paso 8.5

Factoriza $4$ de $4 (16 x^{2} - 60 x) + 4 (57)$ .

$(x - \frac{9}{4}) (4 (16 x^{2} - 60 x + 57))$

Paso 9

Simplifica $64 {(x - 2)}^{3} - 1$ .

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Usa el teorema del binomio.

$64 (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Paso 9.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Paso 9.1.2.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 3 x \cdot 4 + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Paso 9.1.2.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x + {(- 2)}^{3}) - 1 = 0$

Paso 9.1.2.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$64 (x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8) - 1 = 0$

Paso 9.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$64 x^{3} + 64 (- 6 x^{2}) + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Paso 9.1.4

Simplifica.

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Paso 9.1.4.1

Multiplica $- 6$ por $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 64 (12 x) + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Paso 9.1.4.2

Multiplica $12$ por $64$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x + 64 \cdot - 8 - 1 = 0$

Paso 9.1.4.3

Multiplica $64$ por $- 8$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 512 - 1 = 0$

Paso 9.2

Resta $1$ de $- 512$ .

$64 x^{3} - 384 x^{2} + 768 x - 513 = 0$

Paso 10

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x = \frac{9}{4}$

Paso 11