Álgebra Ejemplos

$x^{3} = i$

Paso 1

Sustituye $u$ por $x^{3}$ .

$u^{3} = i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Paso 5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 1$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Paso 7

Como el argumento es indefinido y $b$ es positiva, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{π}{2}$ y $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$u^{3} = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Paso 10

Usa el teorema de DeMoivre para obtener una ecuación para $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = i = \cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$

Paso 11

Iguala el módulo de la forma trigonométrica a $r^{3}$ para obtener el valor de $r$ .

$r^{3} = 1$

Paso 12

Resuelve la ecuación en $r$ .

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Paso 12.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{3} - 1 = 0$

Paso 12.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 12.2.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$r^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 12.2.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = r$ y $b = 1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 12.2.3

Simplifica.

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Paso 12.2.3.1

Multiplica $r$ por $1$ .

$(r - 1) (r^{2} + r + 1^{2}) = 0$

Paso 12.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$

Paso 12.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r^{2} + r + 1 = 0$

Paso 12.4

Establece $r - 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 12.4.1

Establece $r - 1$ igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

Paso 12.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 1$

Paso 12.5

Establece $r^{2} + r + 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 12.5.1

Establece $r^{2} + r + 1$ igual a $0$ .

$r^{2} + r + 1 = 0$

Paso 12.5.2

Resuelve $r^{2} + r + 1 = 0$ en $r$ .

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Paso 12.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 12.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $r$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3

Simplifica.

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Paso 12.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 12.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 12.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 12.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$r = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 12.5.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 12.5.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 12.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.5.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 12.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 12.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$r = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$r = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 12.5.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$r = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 12.5.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$r = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 12.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r - 1) (r^{2} + r + 1) = 0$ verdadera.

$r = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 13

Obtén el valor aproximado de $r$ .

$r = 1$

Paso 14

Obtén los posibles valores de $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (2 π n)$ y $s i n (3 θ) = s i n (2 π n)$

Paso 15

Obtención de todos los valores posibles de $θ$ conduce a la ecuación $3 θ = 2 π n$ .

$3 θ = 2 π n$

Paso 16

Obtén el valor de $θ$ para $r = 0$ .

$3 θ = 2 π (0)$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 17.1

Multiplica $2 π \cdot 0$ .

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Paso 17.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$3 θ = 0 π$

Paso 17.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$3 θ = 0$

Paso 17.2

Divide cada término en $3 θ = 0$ por $3$ y simplifica.

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Paso 17.2.1

Divide cada término en $3 θ = 0$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 17.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 17.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 17.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{0}{3}$

Paso 17.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{0}{3}$

Paso 17.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 17.2.3.1

Divide $0$ por $3$ .

$θ = 0$

Paso 18

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{3} = i$ .

$u_{0} = 1 (\cos (0) + i \sin (0))$

Paso 19

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 19.1

Multiplica $\cos (0) + i \sin (0)$ por $1$ .

$u_{0} = \cos (0) + i \sin (0)$

Paso 19.2

Simplifica cada término.

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Paso 19.2.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$u_{0} = 1 + i \sin (0)$

Paso 19.2.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$u_{0} = 1 + i \cdot 0$

Paso 19.2.3

Multiplica $i$ por $0$ .

$u_{0} = 1 + 0$

Paso 19.3

Suma $1$ y $0$ .

$u_{0} = 1$

Paso 20

Sustituye $x^{3}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{0} = 0 + 1$

Paso 21

Obtén el valor de $θ$ para $r = 1$ .

$3 θ = 2 π (1)$

Paso 22

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 22.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$3 θ = 2 π$

Paso 22.2

Divide cada término en $3 θ = 2 π$ por $3$ y simplifica.

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Paso 22.2.1

Divide cada término en $3 θ = 2 π$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Paso 22.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 22.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 22.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{2 π}{3}$

Paso 22.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{2 π}{3}$

Paso 23

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{3} = i$ .

$u_{1} = 1 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

Paso 24

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 24.1

Multiplica $\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$ por $1$ .

$u_{1} = \cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 24.2

Simplifica cada término.

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Paso 24.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$u_{1} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 24.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})$

Paso 24.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})$

Paso 24.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 24.2.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 25

Sustituye $x^{3}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{1} = 0 - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 26

Obtén el valor de $θ$ para $r = 2$ .

$3 θ = 2 π (2)$

Paso 27

Resuelve la ecuación en $θ$ .

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Paso 27.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$3 θ = 4 π$

Paso 27.2

Divide cada término en $3 θ = 4 π$ por $3$ y simplifica.

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Paso 27.2.1

Divide cada término en $3 θ = 4 π$ por $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Paso 27.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 27.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 27.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{4 π}{3}$

Paso 27.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{4 π}{3}$

Paso 28

Usa los valores de $θ$ y $r$ para obtener una solución para la ecuación $u^{3} = i$ .

$u_{2} = 1 (\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3}))$

Paso 29

Convierte la solución a forma rectangular.

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Paso 29.1

Multiplica $\cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$ por $1$ .

$u_{2} = \cos (\frac{4 π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 29.2

Simplifica cada término.

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Paso 29.2.1

$u_{2} = - \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 29.2.2

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i \sin (\frac{4 π}{3})$

Paso 29.2.3

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el seno es negativo en el tercer cuadrante.

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3}))$

Paso 29.2.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 29.2.5

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 30

Sustituye $x^{3}$ por $u$ para calcular el valor de $z$ tras el desplazamiento a la derecha.

$z_{2} = 0 - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Paso 31

Estas son las soluciones complejas a $u^{3} = i$ .

$z_{0} = 1$

$z_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}$

$z_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$