Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 3$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(x + 4)}^{2}$ como $(x + 4) (x + 4)$ .

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot ((x + 4) (x + 4)) + 3$

Paso 1.2

Expande $(x + 4) (x + 4)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 4) + 4 (x + 4)) + 3$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) + 3$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 3$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) + 3$

Paso 1.3.1.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) + 3$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 4 x + 4 x + 16) + 3$

Paso 1.3.2

Suma $4 x$ y $4 x$ .

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 8 x + 16) + 3$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} \cdot (8 x) + \frac{1}{4} \cdot 16 + 3$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{2}$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot (8 x) + \frac{1}{4} \cdot 16 + 3$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $4$ de $8 x$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (2 x)) + \frac{1}{4} \cdot 16 + 3$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} \cdot (4 (2 x)) + \frac{1}{4} \cdot 16 + 3$

Paso 1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{1}{4} \cdot 16 + 3$

Paso 1.5.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.3.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{1}{4} \cdot (4 (4)) + 3$

Paso 1.5.3.2

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 4) + 3$

Paso 1.5.3.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 4 + 3$

Paso 2

Suma $4$ y $3$ .

$f (x) = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 7$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{2}{2 (0.25)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{2}{2 (0.25)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{2}{2 (0.25)}$ .

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Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = - \frac{2}{2 \cdot 0.25}$

Paso 4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = - \frac{1}{0.25}$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Divide $1$ por $0.25$ .

$x = - 1 \cdot 4$

Paso 4.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x = - 4$

Paso 5

Evalúa $f (- 4)$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{4} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común de ${(- 4)}^{2}$ y $4$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 1 \cdot 4)}^{2}}{4} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $- 1 (4)$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 4) = \frac{1 \cdot 4^{2}}{4} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.4

Multiplica $4^{2}$ por $1$ .

$f (- 4) = \frac{4^{2}}{4} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.5

Factoriza $4$ de $4^{2}$ .

$f (- 4) = \frac{4 \cdot 4}{4} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.1.6.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$f (- 4) = \frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- 4) = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- 4) = \frac{4}{1} + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.1.6.4

Divide $4$ por $1$ .

$f (- 4) = 4 + 2 (- 4) + 7$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 4 - 8 + 7$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$f (- 4) = - 4 + 7$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 4$ y $7$ .

$f (- 4) = 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $3$ .

$3$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- 4, 3)$

Paso 7