Álgebra Ejemplos

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} = \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Resta $\frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4} = 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 x - 4}{x^{2} - 4}$ .

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $4 x - 4$ .

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Paso 2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) - 4}{x^{2} - 4} = 0$

Paso 2.1.1.2

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{x^{2} - 4} = 0$

Paso 2.1.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 4} = 0$

Paso 2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{x^{2} - 2^{2}} = 0$

Paso 2.1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{3}{x + 2} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.2

Para escribir $\frac{3}{x + 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.3

Para escribir $\frac{2}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3}{x + 2} \cdot \frac{x}{x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 2) x$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{3}{x + 2}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{2}{x}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{3 x}{(x + 2) x} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x + 2) x$ .

$\frac{3 x}{x (x + 2)} + \frac{2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x + 2 (x + 2)}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 2 x + 2 \cdot 2}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{3 x + 2 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.6.3

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.7

Para escribir $\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.8

Para escribir $- \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{5 x + 4}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Paso 2.9

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (x + 2) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.9.1

Multiplica $\frac{5 x + 4}{x (x + 2)}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x}{x} = 0$

Paso 2.9.2

Multiplica $\frac{4 (x - 1)}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{(x + 2) (x - 2) x} = 0$

Paso 2.9.3

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) x$ .

$\frac{(5 x + 4) (x - 2)}{x (x + 2) (x - 2)} - \frac{4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(5 x + 4) (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 2.11.1

Expande $(5 x + 4) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.11.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x (x - 2) + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 (x - 2) - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.11.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.11.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} + 5 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x + 4 \cdot - 2 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.2.1.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$\frac{5 x^{2} - 10 x + 4 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.2.2

Suma $- 10 x$ y $4 x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 + (- 4 x + 4) x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x \cdot x + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.11.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 (x \cdot x) + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} - 6 x - 8 - 4 x^{2} + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.7

Resta $4 x^{2}$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x - 8 + 4 x}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.8

Suma $- 6 x$ y $4 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x - 8}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.11.9

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 2.11.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 2.11.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.12

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 2.12.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 4) (x + 2)}{x (x + 2) (x - 2)} = 0$

Paso 2.12.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x - 4}{x (x - 2)} = 0$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{x - 4}{x (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x (x - 2) = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = 0, x = 2$

Paso 6