Álgebra Ejemplos

$\arcsin (\sqrt{\sin (11 x)})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sin (11 x)}$ como ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arcsin ({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arcsin (x)$ y $g (x) = {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

La derivada de $\arcsin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con ${\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${({\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{1} (11 x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [{\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = \sin (11 x)$ .

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Paso 5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (11 x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (11 x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 10

Combina fracciones.

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Paso 10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2} {\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{{\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 10.3

Mueve ${\sin (11 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)])$

Paso 10.4

Multiplica $\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{\sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [\sin (11 x)]$

Paso 11

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 11 x$ .

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Paso 11.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $11 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [11 x])$

Paso 11.2

La derivada de $\sin (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [11 x])$

Paso 11.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $11 x$ .

$\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (\cos (11 x) \frac{d}{d x} [11 x])$

Paso 12

Diferencia.

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Paso 12.1

Combina $\cos (11 x)$ y $\frac{1}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [11 x]$

Paso 12.2

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11 x$ con respecto a $x$ es $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} (11 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 12.3

Combina $11$ y $\frac{\cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}} \cdot 1$

Paso 12.5

Multiplica $\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$ por $1$ .

$\frac{11 \cos (11 x)}{2 {\sin (11 x)}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin (11 x)}}$