Álgebra Ejemplos

$x^{2} - y^{2} - 8 x - 10 y - 10 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - y^{2} - 8 x - 10 y = 10$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $x^{2} - 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 8$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común de $- 8$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 1.2.3.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{64}{4}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $64$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 4)}^{2} - 16$ .

${(x - 4)}^{2} - 16$

Paso 1.3

Sustituye ${(x - 4)}^{2} - 16$ por $x^{2} - 8 x$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} - 8 x - 10 y = 10$ .

${(x - 4)}^{2} - 16 - y^{2} - 10 y = 10$

Paso 1.4

Mueve $- 16$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $16$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} - y^{2} - 10 y = 10 + 16$

Paso 1.5

Completa el cuadrado de $- y^{2} - 10 y$ .

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Paso 1.5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = 0$

Paso 1.5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $- 10$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Paso 1.5.3.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 5$ como $- - 5$ .

$d = - - 5$

Paso 1.5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$d = 5$

Paso 1.5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{100}{- 4}$

Paso 1.5.4.2.1.3

Divide $100$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 25$

Paso 1.5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$e = 0 + 25$

Paso 1.5.4.2.2

Suma $0$ y $25$ .

$e = 25$

Paso 1.5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(y + 5)}^{2} + 25$ .

$- {(y + 5)}^{2} + 25$

Paso 1.6

Sustituye $- {(y + 5)}^{2} + 25$ por $- y^{2} - 10 y$ en la ecuación $x^{2} - y^{2} - 8 x - 10 y = 10$ .

${(x - 4)}^{2} - {(y + 5)}^{2} + 25 = 10 + 16$

Paso 1.7

Mueve $25$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $25$ a ambos lados.

${(x - 4)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 10 + 16 - 25$

Paso 1.8

Simplifica $10 + 16 - 25$ .

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Paso 1.8.1

Suma $10$ y $16$ .

${(x - 4)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 26 - 25$

Paso 1.8.2

Resta $25$ de $26$ .

${(x - 4)}^{2} - {(y + 5)}^{2} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener los vértices y las asíntotas de la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = - 5$

$h = 4$

Paso 4

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 4.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la hipérbola con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Paso 4.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Paso 4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Paso 4.3.3

Suma $1$ y $1$ .

$\sqrt{2}$

Paso 5

Obtén los focos.

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Paso 5.1

El primer foco de una hipérbola puede obtenerse al sumar $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Paso 5.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4 + \sqrt{2}, - 5)$

Paso 5.3

El segundo foco de una hipérbola puede obtenerse mediante la resta de $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Paso 5.4

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula y simplifica.

$(4 - \sqrt{2}, - 5)$

Paso 5.5

Los focos de una hipérbola siguen la forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Las hipérbolas tienen dos focos.

$(4 + \sqrt{2}, - 5), (4 - \sqrt{2}, - 5)$

Paso 6