Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x + 1} \geq \frac{1}{x - 2}$

Paso 1

Resuelve $- 1 < x < 2 or x \geq 5$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{x - 2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} \geq 0$

Paso 1.2

Simplifica $\frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2}$ .

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Paso 1.2.1

Para escribir $\frac{2}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \geq 0$

Paso 1.2.2

Para escribir $- \frac{1}{x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \geq 0$

Paso 1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x + 1) (x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{2}{x + 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \geq 0$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $\frac{1}{x - 2}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 1)} \geq 0$

Paso 1.2.3.3

Reordena los factores de $(x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 1) (x - 2)} - \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (x - 2) - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{2 x - 4 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x - 4 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.5.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 x - 4 - x - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.5.5

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x - 4 - 1}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.2.5.6

Resta $1$ de $- 4$ .

$\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)} \geq 0$

Paso 1.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.4

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 1.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 5$

$x = - 1$

$x = 2$

Paso 1.8

Consolida las soluciones.

$x = 5, - 1, 2$

Paso 1.9

Obtén el dominio de $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ .

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Paso 1.9.1

Establece el denominador en $\frac{x - 5}{(x + 1) (x - 2)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 1) (x - 2) = 0$

Paso 1.9.2

Resuelve $x$

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Paso 1.9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 1.9.2.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.9.2.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 1.9.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 1.9.2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.9.2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 1.9.2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 1.9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 2$

Paso 1.9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 1.10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 2$

$2 < x < 5$

$x > 5$

Paso 1.11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 1.11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(- 4) + 1} \geq \frac{1}{(- 4) - 2}$

Paso 1.11.1.3

$- 0.\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $- 0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(0) + 1} \geq \frac{1}{(0) - 2}$

Paso 1.11.2.3

$2$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.11.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 1.11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(4) + 1} \geq \frac{1}{(4) - 2}$

Paso 1.11.3.3

$0.4$ del lado izquierdo es menor que $0.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 1.11.4.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(8) + 1} \geq \frac{1}{(8) - 2}$

Paso 1.11.4.3

$0.\overline{2}$ del lado izquierdo es mayor que $0.1\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 2$ Verdadero

$2 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 1.12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 1 < x < 2$ o $x \geq 5$

Paso 2

Usa la desigualdad $- 1 < x < 2 or x \geq 5$ para crear la notación de conjunto.

${x | - 1 < x < 2 or x \geq 5}$

Paso 3