Álgebra Ejemplos

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \tan^{-1} (y)$ y $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.2

La derivada de $\tan^{-1} (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.3

Simplifica.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

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Paso 4.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.8.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Paso 4.12

Multiplica $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

Paso 4.13

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

Paso 4.14

Combina $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ y $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Paso 6

Resuelve $x'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3.1.1.3

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

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Paso 6.3.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Paso 6.3.2.1.1

Multiplica $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ por $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

Paso 6.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 6.3.2.1.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Paso 6.3.2.1.4

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.3.2.1.4.1

Mueve $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Paso 6.3.2.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.4.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Paso 6.3.2.1.4.5

Suma $2$ y $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Paso 7

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$