Álgebra Ejemplos

$\sin (y) + \cos (x) = 1$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (\sin (y) + \cos (x)) = \frac{d}{d y} (1)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (y) + \cos (x)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \cos (y)$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.1.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$\cos (y) - \sin (u) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$\cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\cos (y) - \sin (x) x'$

Paso 2.4

Reordena los términos.

$- \sin (x) x' + \cos (y)$

Paso 3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- \sin (x) x' + \cos (y) = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en $- \sin (x) x' + \cos (y)$ .

$- x' \sin (x) + \cos (y) = 0$

Paso 5.2

Resta $\cos (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- x' \sin (x) = - \cos (y)$

Paso 5.3

Divide cada término en $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ por $- \sin (x)$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ por $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x' = \frac{\cos (y)}{\sin (x)}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe $\frac{\cos (y)}{\sin (x)}$ como un producto.

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 5.3.3.3

Escribe $\cos (y)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 5.3.3.4

Simplifica.

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Paso 5.3.3.4.1

Divide $\cos (y)$ por $1$ .

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 5.3.3.4.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$x' = \cos (y) \csc (x)$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \cos (y) \csc (x)$