Álgebra Ejemplos

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ y $g (y) = 10 x^{3} + 7$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{3}{2}$ y ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Paso 3.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $10 x^{3} + 7$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.6.3

Como $10$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $10 x^{3}$ con respecto a $y$ es $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{3}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.8

Multiplica $3$ por $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.9

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

Paso 3.10

Como $7$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $7$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

Paso 3.11

Simplifica los términos.

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Paso 3.11.1

Suma $30 x^{2} x'$ y $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

Paso 3.11.2

Combina $30$ y $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

Paso 3.11.3

Multiplica $3$ por $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

Paso 3.11.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

Paso 3.11.5

Combina $\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ y $x'$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

Paso 3.11.6

Factoriza $2$ de $x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

Paso 3.12.4

Divide $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ por $1$ .

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

Paso 3.13

Reordena los factores de $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ .

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ por $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ por $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2.5

Cancela el factor común.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.2.2.6

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$