Álgebra Ejemplos

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d z} (z) = \frac{d}{d z} ((u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ es $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ donde $f (z) = u^{3} - {u'}^{3}$ y $g (z) = e^{u^{3} + {u'}^{3}}$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) \frac{d}{d z} [e^{u^{3} + {u'}^{3}}] + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = e^{z}$ y $g (z) = u^{3} + {u'}^{3}$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $u^{3} + {u'}^{3}$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $u^{3} + {u'}^{3}$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) (e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} + {u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{3} + {u'}^{3}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{3}$ y $g (z) = u$ .

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Paso 3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $u$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $u$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.5

Reescribe $\frac{d}{d z} [u]$ como $u'$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + \frac{d}{d z} [{u'}^{3}]) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.6

Diferencia.

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Paso 3.6.1

Como ${u'}^{3}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de ${u'}^{3}$ con respecto a $z$ es $0$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + 0) + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.6.2

Suma $3 u^{2} u'$ y $0$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} \frac{d}{d z} [u^{3} - {u'}^{3}]$

Paso 3.6.3

Según la regla de la suma, la derivada de $u^{3} - {u'}^{3}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d z} [u^{3}] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

Paso 3.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{3}$ y $g (z) = u$ .

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Paso 3.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $u$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{3}] \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

Paso 3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ es $n {u_{3}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 {u_{3}}^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

Paso 3.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $u$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} \frac{d}{d z} [u] + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

Paso 3.8

Reescribe $\frac{d}{d z} [u]$ como $u'$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + \frac{d}{d z} [- {u'}^{3}])$

Paso 3.9

Como $- {u'}^{3}$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- {u'}^{3}$ con respecto a $z$ es $0$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u' + 0)$

Paso 3.10

Suma $3 u^{2} u'$ y $0$ .

$(u^{3} - {u'}^{3}) e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(u^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}}) (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

Paso 3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$u^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

Paso 3.11.3

Combina los términos.

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Paso 3.11.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u^{2 + 3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

Paso 3.11.3.2

Suma $2$ y $3$ .

$u^{5} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

Paso 3.11.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$u^{5} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u') - 3 {u'}^{3} e^{u^{3} + {u'}^{3}} (u^{2} u') + e^{u^{3} + {u'}^{3}} (3 u^{2} u')$

Paso 3.11.4

Reordena los términos.

$3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u'$

Paso 5

Reescribe la ecuación como $3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u' = 1$ .

$3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{5} u' - 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} {u'}^{3} u^{2} u' + 3 e^{u^{3} + {u'}^{3}} u^{2} u' = 1$

Paso 6

Reemplaza $u'$ con $\frac{d u}{d z}$ .

$\frac{d u}{d z} = 1$