Álgebra Ejemplos

$\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)} = \frac{1}{\tan (2 x)}$

Paso 1

Comienza por el lado derecho.

$\frac{1}{\tan (2 x)}$

Paso 2

Aplica la razón del ángulo doble tangente.

$\frac{1}{\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}}$

Paso 3

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 3.1

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}}$

Paso 3.2

Escribe $\tan (x)$ en senos y cosenos mediante la identidad del cociente.

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}}$

Paso 3.3

Aplica la regla del producto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$1 \frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$ por $1$ .

$\frac{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ como ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.4

Combina $2$ y $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.5

Multiplica $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.6

Simplifica el denominador.

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Paso 4.6.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.6.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.6.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.6.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}$

Paso 4.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{\cos (x)}{2 \sin (x)}$

Paso 4.8

Combinar.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))}$

Paso 4.9

Cancela el factor común de $\cos (x)$ y ${\cos (x)}^{2}$ .

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Paso 4.9.1

Factoriza $\cos (x)$ de $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))}$

Paso 4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.9.2.1

Factoriza $\cos (x)$ de ${\cos (x)}^{2} (2 \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \sin (x)))}$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{\cos (x) (\cos (x) (2 \sin (x)))}$

Paso 4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) (2 \sin (x))}$

Paso 4.10

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{2 \cos (x) \sin (x)}$ como $\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)}$ .

$\frac{(1 - \tan^{2} (x))}{2 \tan (x)}$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{2 \tan (x)} = \frac{1}{\tan (2 x)}$ es una identidad