Álgebra Ejemplos

$e^{3 x^{2}}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = e^{3 y^{2}}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $e^{3 y^{2}} = x$ .

$e^{3 y^{2}} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{3 y^{2}}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln (e^{3 y^{2}})$ ; para ello, mueve $3 y^{2}$ fuera del logaritmo.

$3 y^{2} \ln (e) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$3 y^{2} \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 y^{2} = \ln (x)$

Paso 2.4

Divide cada término en $3 y^{2} = \ln (x)$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.1

Divide cada término en $3 y^{2} = \ln (x)$ por $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\ln (x)}{3}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\ln (x)}{3}$

Paso 2.4.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (x)}{3}$

Paso 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (x)}{3}}$

Paso 2.6

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{\ln (x)}{3}}$ .

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Paso 2.6.1

Reescribe $\sqrt{\frac{\ln (x)}{3}}$ como $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.6.2

Multiplica $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Paso 2.6.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.6.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Paso 2.6.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Paso 2.6.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Paso 2.6.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Paso 2.6.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Paso 2.6.3.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.6.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.6.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.6.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.6.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.6.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Paso 2.6.3.6.5

Evalúa el exponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.4.1

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x) \cdot 3}}{3}$

Paso 2.6.4.2

Reordena $\ln (x)$ y $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot \ln (x)}}{3}$

Paso 2.6.4.3

Simplifica $3 \cdot \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Paso 2.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Paso 2.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Paso 2.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ es la inversa de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

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Paso 4.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ y $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ y compáralos.

Paso 4.2

Obtén el rango de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

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Paso 4.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[1, \infty)$

Paso 4.3

Obtén el dominio de $\frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ .

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Paso 4.3.1

Establece el argumento en $\ln (x^{3})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} > 0$

Paso 4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} > \sqrt[3]{0}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x > \sqrt[3]{0}$

Paso 4.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.3.2.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x > \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.3.2.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x > 0$

Paso 4.3.3

Establece el radicando en $\sqrt{\ln (x^{3})}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\ln (x^{3}) \geq 0$

Paso 4.3.4

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.1

Convierte la desigualdad a una igualdad.

$\ln (x^{3}) = 0$

Paso 4.3.4.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.4.2.1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{0}$

Paso 4.3.4.2.2

Reescribe $\ln (x^{3}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{3}$

Paso 4.3.4.2.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.2.3.1

Reescribe la ecuación como $x^{3} = e^{0}$ .

$x^{3} = e^{0}$

Paso 4.3.4.2.3.2

Resta $e^{0}$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} - e^{0} = 0$

Paso 4.3.4.2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.4.2.3.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.3.4.2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Paso 4.3.4.2.3.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.4.2.3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 4.3.4.2.3.4.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.3.4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.3.4.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3.4.2.3.4.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 4.3.4.2.3.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 4.3.4.2.3.6

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.2.3.6.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 4.3.4.2.3.6.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 4.3.4.2.3.7

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 4.3.4.2.3.7.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.7.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.2.3.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4.3.4.3

Obtén el dominio de $\ln (x^{3})$ .

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Paso 4.3.4.3.1

Establece el argumento en $\ln (x^{3})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{3} > 0$

Paso 4.3.4.3.2

Resuelve $x$

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Paso 4.3.4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} > \sqrt[3]{0}$

Paso 4.3.4.3.2.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 4.3.4.3.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.3.2.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$x > \sqrt[3]{0}$

Paso 4.3.4.3.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.3.2.2.2.1

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 4.3.4.3.2.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x > \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 4.3.4.3.2.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x > 0$

Paso 4.3.4.3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(0, \infty)$

Paso 4.3.4.4

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \geq 1$

Paso 4.3.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[1, \infty)$

Paso 4.4

Obtén el dominio de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

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Paso 4.4.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 4.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ es el rango de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ es el dominio de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ es la inversa de $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Paso 5