Álgebra Ejemplos

$t (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 5 \cdot 1 + 20 (1) - 16$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$1 - 5 + 20 (1) - 16$

Paso 4.1.4

Multiplica $20$ por $1$ .

$1 - 5 + 20 - 16$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $5$ de $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Paso 4.2.2

Suma $- 4$ y $20$ .

$16 - 16$

Paso 4.2.3

Resta $16$ de $16$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$	$- 4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(20)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(16)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(16)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 16)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 4) x + 16$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

$(x - 1) x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 4)$

Paso 9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 2^{2})$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) + (x - 4) ((x + 2) (x - 2))$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) + (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

Paso 11

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 11.1

Factoriza $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 11.1.1

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Paso 11.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Paso 11.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 11.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Paso 11.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $4$ .

$1 - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Paso 11.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 16$

Paso 11.1.3.4

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$1 - 5 + 20 \cdot 1 - 16$

Paso 11.1.3.5

Resta $5$ de $1$ .

$- 4 + 20 \cdot 1 - 16$

Paso 11.1.3.6

Multiplica $20$ por $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Paso 11.1.3.7

Suma $- 4$ y $20$ .

$16 - 16$

Paso 11.1.3.8

Resta $16$ de $16$ .

$0$

Paso 11.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Paso 11.1.5

Divide $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ por $x - 1$ .

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Paso 11.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Paso 11.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Paso 11.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 11.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Paso 11.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Paso 11.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 11.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 11.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 11.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 11.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Paso 11.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Paso 11.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 4 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Paso 11.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 11.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 4 x^{2} + 4 x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Paso 11.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

Paso 11.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Paso 11.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $16 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Paso 11.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Paso 11.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $16 x - 16$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Paso 11.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

$0$

Paso 11.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Paso 11.1.6

Escribe $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ como un conjunto de factores.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Paso 11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) ((x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16) = 0$

Paso 11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) (x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)) = 0$

Paso 11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Paso 11.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Paso 11.5

Factoriza.

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Paso 11.5.1

Factoriza.

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Paso 11.5.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Paso 11.5.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 11.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 12

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 13

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 13.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 14

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 14.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 14.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 15

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 15.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 16

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 16.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 17

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, 4, - 2, 2$

Paso 18