Álgebra Ejemplos

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{7}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.2

Eleva $7$ a la potencia de $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.4.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.4.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.5

Combina $3$ y $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.6

Multiplica $3$ por $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.7

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.8

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.9

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.10

Multiplica $- 21 (\frac{343}{8})$ .

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Paso 4.1.10.1

Combina $- 21$ y $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.10.2

Multiplica $- 21$ por $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.12

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.13

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.14

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.15

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.1.15.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.15.2

Cancela el factor común.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.15.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.16

Multiplica $- 1$ por $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Paso 4.1.17

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.17.1

Factoriza $2$ de $24$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

Paso 4.1.17.2

Cancela el factor común.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

Paso 4.1.17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

Paso 4.1.18

Multiplica $12$ por $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

Paso 4.2.2

Resta $7203$ de $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.1

Escribe $- 49$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{- 49}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{- 49}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.4

Escribe $84$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{84}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{84}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.7

Escribe $- 35$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.8

Multiplica $\frac{- 35}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

Paso 4.3.9

Multiplica $\frac{- 35}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 49$ por $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Paso 4.5.2

Multiplica $84$ por $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

Paso 4.5.3

Multiplica $- 35$ por $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Suma $- 392$ y $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

Paso 4.6.2

Resta $280$ de $280$ .

$\frac{0}{8}$

Paso 4.6.3

Divide $0$ por $8$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{7}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{7}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(6)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(6)$ por el divisor $(\frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(21)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(\frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(\frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(- 14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(10)$ por el divisor $(\frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(35)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

Paso 7

Factoriza $2$ de $6 x^{3} - 4 x + 10$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $6 x^{3}$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $10$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ .

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

Paso 8

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

Paso 9