Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(x - 3)}^{4} {(x + 6)}^{2}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

$(x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.1.3

Multiplica $9$ por $6$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.1.5

Multiplica $- 27$ por $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.1.6

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) {(x + 6)}^{2}$

Paso 2.2

Reescribe ${(x + 6)}^{2}$ como $(x + 6) (x + 6)$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) ((x + 6) (x + 6))$

Paso 3

Expande $(x + 6) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x (x + 6) + 6 (x + 6))$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)$

Paso 4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)$

Paso 4.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)$

Paso 4.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)$

Paso 4.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 12 x + 36)$

Paso 5

Expande $(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 12 x + 36)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$x^{4} x^{2} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6

Simplifica los términos.

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Paso 6.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.1

Multiplica $x^{4}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{4 + 2} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.1.2

Suma $4$ y $2$ .

$x^{6} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{6} + 12 x^{4} x + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.3

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.3.1

Mueve $x$ .

$x^{6} + 12 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.3.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 6.1.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{6} + 12 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} + 12 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.3.3

Suma $1$ y $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.4

Mueve $36$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 \cdot x^{4} - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.5

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.5.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 (x^{2} x^{3}) - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{2 + 3} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.5.3

Suma $2$ y $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{3} x - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.7

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.7.1

Mueve $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 (x \cdot x^{3}) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.7.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 6.1.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 (x^{1} x^{3}) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{1 + 3} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.7.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.8

Multiplica $- 12$ por $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.9

Multiplica $36$ por $- 12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.10

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.10.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 (x^{2} x^{2}) + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{2 + 2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.10.3

Suma $2$ y $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{2} x + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.12

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.12.1

Mueve $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 (x \cdot x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.12.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.1.12.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 (x^{1} x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.12.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{1 + 2} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.12.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.13

Multiplica $54$ por $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.14

Multiplica $36$ por $54$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.15

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.15.1

Mueve $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 (x^{2} x) - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.15.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.1.15.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 (x^{2} x^{1}) - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.15.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{2 + 1} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.15.3

Suma $2$ y $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.16

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 x \cdot x - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.17

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.1.17.1

Mueve $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 (x \cdot x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.17.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 x^{2} - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.18

Multiplica $- 108$ por $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.19

Multiplica $36$ por $- 108$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.20

Multiplica $12$ por $81$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 81 \cdot 36$

Paso 6.1.21

Multiplica $81$ por $36$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 6.2.1

Combina los términos opuestos en $x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$ .

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Paso 6.2.1.1

Resta $12 x^{5}$ de $12 x^{5}$ .

$x^{6} + 36 x^{4} + 0 - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.1.2

Suma $x^{6} + 36 x^{4}$ y $0$ .

$x^{6} + 36 x^{4} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.2

Resta $144 x^{4}$ de $36 x^{4}$ .

$x^{6} - 108 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.3

Suma $- 108 x^{4}$ y $54 x^{4}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} - 432 x^{3} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.4

Suma $- 432 x^{3}$ y $648 x^{3}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 216 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.5

Resta $108 x^{3}$ de $216 x^{3}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 1944 x^{2} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.6

Resta $1296 x^{2}$ de $1944 x^{2}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 648 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Paso 6.2.7

Suma $648 x^{2}$ y $81 x^{2}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 3888 x + 972 x + 2916$

Paso 6.2.8

Suma $- 3888 x$ y $972 x$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916$

Paso 7

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 81, \pm 108, \pm 162, \pm 243, \pm 324, \pm 486, \pm 729, \pm 972, \pm 1458, \pm 2916$

$q = \pm 1$

Paso 8

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 81, \pm 108, \pm 162, \pm 243, \pm 324, \pm 486, \pm 729, \pm 972, \pm 1458, \pm 2916$

Paso 9

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(3)}^{6} - 54 {(3)}^{4} + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 10.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$729 - 54 {(3)}^{4} + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$729 - 54 \cdot 81 + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.3

Multiplica $- 54$ por $81$ .

$729 - 4374 + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$729 - 4374 + 108 \cdot 27 + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.5

Multiplica $108$ por $27$ .

$729 - 4374 + 2916 + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$729 - 4374 + 2916 + 729 \cdot 9 - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.7

Multiplica $729$ por $9$ .

$729 - 4374 + 2916 + 6561 - 2916 \cdot 3 + 2916$

Paso 10.1.8

Multiplica $- 2916$ por $3$ .

$729 - 4374 + 2916 + 6561 - 8748 + 2916$

Paso 10.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 10.2.1

Resta $4374$ de $729$ .

$- 3645 + 2916 + 6561 - 8748 + 2916$

Paso 10.2.2

Suma $- 3645$ y $2916$ .

$- 729 + 6561 - 8748 + 2916$

Paso 10.2.3

Suma $- 729$ y $6561$ .

$5832 - 8748 + 2916$

Paso 10.2.4

Resta $8748$ de $5832$ .

$- 2916 + 2916$

Paso 10.2.5

Suma $- 2916$ y $2916$ .

$0$

Paso 11

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916}{x - 3}$

Paso 12

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 12.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$

Paso 12.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$

	$1$

Paso 12.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$
	$1$

Paso 12.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$
	$1$	$3$

Paso 12.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 54)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Paso 12.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 45$

Paso 12.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 45)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 135)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(108)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$
	$1$	$3$	$- 45$

Paso 12.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$

Paso 12.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 27)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 81)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(729)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$

Paso 12.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$

Paso 12.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(648)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(1944)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 2916)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$

Paso 12.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$

Paso 12.13

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 972)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 2916)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(2916)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$	$- 2916$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$

Paso 12.14

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$	$- 2916$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$	$0$

Paso 12.15

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{5} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + - 27 x^{2} + (648) x - 972$

Paso 12.16

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{5} + 3 x^{4} - 45 x^{3} - 27 x^{2} + 648 x - 972$

Paso 13

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 13.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} - 27 x^{2} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5} - 27 x^{2}$ .

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Paso 13.1.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$x^{2} x^{3} - 27 x^{2} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 27 x^{2}$ .

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27 + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27$ .

$x^{2} (x^{3} - 27) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.3

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$x^{2} (x^{3} - 3^{3}) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.5

Factoriza.

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Paso 13.1.5.1

Simplifica.

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Paso 13.1.5.1.1

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.5.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.6

Factoriza $3$ de $3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972$ .

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Paso 13.1.6.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.6.2

Factoriza $3$ de $- 45 x^{3}$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) + 3 (- 15 x^{3}) + 648 x - 972 = 0$

Paso 13.1.6.3

Factoriza $3$ de $648 x$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) + 3 (- 15 x^{3}) + 3 (216 x) - 972 = 0$

Paso 13.1.6.4

Factoriza $3$ de $- 972$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 x^{4} + 3 (- 15 x^{3}) + 3 (216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Paso 13.1.6.5

Factoriza $3$ de $3 x^{4} + 3 (- 15 x^{3})$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3}) + 3 (216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Paso 13.1.6.6

Factoriza $3$ de $3 (x^{4} - 15 x^{3}) + 3 (216 x)$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Paso 13.1.6.7

Factoriza $3$ de $3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x) + 3 \cdot - 324$ .

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324) = 0$

Paso 13.1.7

Factoriza.

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Paso 13.1.7.1

Factoriza $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 13.1.7.1.1

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

Paso 13.1.7.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

Paso 13.1.7.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 13.1.7.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{4} - 15 \cdot 3^{3} + 216 \cdot 3 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 - 15 \cdot 3^{3} + 216 \cdot 3 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$81 - 15 \cdot 27 + 216 \cdot 3 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.4

Multiplica $- 15$ por $27$ .

$81 - 405 + 216 \cdot 3 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.5

Resta $405$ de $81$ .

$- 324 + 216 \cdot 3 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.6

Multiplica $216$ por $3$ .

$- 324 + 648 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.7

Suma $- 324$ y $648$ .

$324 - 324$

Paso 13.1.7.1.3.8

Resta $324$ de $324$ .

$0$

Paso 13.1.7.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324}{x - 3}$

Paso 13.1.7.1.5

Divide $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ por $x - 3$ .

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Paso 13.1.7.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

Paso 13.1.7.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

Paso 13.1.7.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 13.1.7.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{4} - 3 x^{3}$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Paso 13.1.7.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

Paso 13.1.7.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 13.1.7.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

Paso 13.1.7.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Paso 13.1.7.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Paso 13.1.7.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Paso 13.1.7.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

Paso 13.1.7.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 36 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

Paso 13.1.7.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Paso 13.1.7.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 36 x^{2} + 108 x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Paso 13.1.7.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Paso 13.1.7.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

Paso 13.1.7.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $108 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

Paso 13.1.7.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

Paso 13.1.7.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $108 x - 324$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

Paso 13.1.7.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

$0$

Paso 13.1.7.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108$

Paso 13.1.7.1.6

Escribe $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ como un conjunto de factores.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108) = 0$

Paso 13.1.8

Factoriza $x - 3$ de $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.8.1

Factoriza $x - 3$ de $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108) = 0$

Paso 13.1.8.2

Factoriza $x - 3$ de $3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)$ .

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.8.3

Factoriza $x - 3$ de $(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108))$ .

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 3) (x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.10

Simplifica.

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Paso 13.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.10.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 3) (x^{2 + 2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.10.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$(x - 3) (x^{4} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.10.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.10.3

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{2} x + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.11.1

Mueve $x$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.11.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 13.1.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{1 + 2} + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.11.3

Suma $1$ y $2$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Paso 13.1.12

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (- 12 x^{2}) + 3 (- 36 x) + 3 \cdot 108) = 0$

Paso 13.1.13

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.1

Multiplica $- 12$ por $3$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} + 3 (- 36 x) + 3 \cdot 108) = 0$

Paso 13.1.13.2

Multiplica $- 36$ por $3$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} - 108 x + 3 \cdot 108) = 0$

Paso 13.1.13.3

Multiplica $3$ por $108$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Paso 13.1.14

Suma $3 x^{3}$ y $3 x^{3}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} - 36 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Paso 13.1.15

Resta $36 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Paso 13.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.3

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.3.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 13.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 13.4

Establece $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.4.1

Establece $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324$ igual a $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.4.2

Resuelve $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.4.2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 13.4.2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.4.2.1.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4} + 6 x^{3}$ .

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Paso 13.4.2.1.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$x^{3} x + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.4.2.1.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$x^{3} x + x^{3} \cdot 6 - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.4.2.1.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x + x^{3} \cdot 6$ .

$x^{3} (x + 6) - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.4.2.1.3

Factoriza $27$ de $- 27 x^{2} - 108 x + 324$ .

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Paso 13.4.2.1.3.1

Factoriza $27$ de $- 27 x^{2}$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) - 108 x + 324 = 0$

Paso 13.4.2.1.3.2

Factoriza $27$ de $- 108 x$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x) + 324 = 0$

Paso 13.4.2.1.3.3

Factoriza $27$ de $324$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x) + 27 (12) = 0$

Paso 13.4.2.1.3.4

Factoriza $27$ de $27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x)$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x) + 27 (12) = 0$

Paso 13.4.2.1.3.5

Factoriza $27$ de $27 (- x^{2} - 4 x) + 27 (12)$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Paso 13.4.2.1.4

Factoriza.

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Paso 13.4.2.1.4.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 13.4.2.1.4.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 13.4.2.1.4.1.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Paso 13.4.2.1.4.1.1.2

Reescribe $- 4$ como $2$ más $- 6$

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Paso 13.4.2.1.4.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Paso 13.4.2.1.4.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.4.2.1.4.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x^{3} (x + 6) + 27 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Paso 13.4.2.1.4.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{3} (x + 6) + 27 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Paso 13.4.2.1.4.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Paso 13.4.2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x + 2) (x + 6) = 0$

Paso 13.4.2.1.5

Factoriza $x + 6$ de $x^{3} (x + 6) + 27 (- x + 2) (x + 6)$ .

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Paso 13.4.2.1.5.1

Factoriza $x + 6$ de $x^{3} (x + 6)$ .

$(x + 6) x^{3} + 27 (- x + 2) (x + 6) = 0$

Paso 13.4.2.1.5.2

Factoriza $x + 6$ de $27 (- x + 2) (x + 6)$ .

$(x + 6) x^{3} + (x + 6) (27 (- x + 2)) = 0$

Paso 13.4.2.1.5.3

Factoriza $x + 6$ de $(x + 6) x^{3} + (x + 6) (27 (- x + 2))$ .

$(x + 6) (x^{3} + 27 (- x + 2)) = 0$

Paso 13.4.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 6) (x^{3} + 27 (- x) + 27 \cdot 2) = 0$

Paso 13.4.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$(x + 6) (x^{3} - 27 x + 27 \cdot 2) = 0$

Paso 13.4.2.1.8

Multiplica $27$ por $2$ .

$(x + 6) (x^{3} - 27 x + 54) = 0$

Paso 13.4.2.1.9

Factoriza.

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Paso 13.4.2.1.9.1

Reescribe $x^{3} - 27 x + 54$ en forma factorizada.

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Paso 13.4.2.1.9.1.1

Factoriza $x^{3} - 27 x + 54$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 13.4.2.1.9.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.3

Sustituye $3$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 13.4.2.1.9.1.1.3.1

Sustituye $3$ en el polinomio.

$3^{3} - 27 \cdot 3 + 54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.3.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 27 \cdot 3 + 54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.3.3

Multiplica $- 27$ por $3$ .

$27 - 81 + 54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.3.4

Resta $81$ de $27$ .

$- 54 + 54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.3.5

Suma $- 54$ y $54$ .

$0$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.4

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 27 x + 54}{x - 3}$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5

Divide $x^{3} - 27 x + 54$ por $x - 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$27 x$

$54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - 3 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x^{2} - 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	+	$54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 x + 54$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	-	$54$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	-	$54$
										$0$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 3 x - 18$

Paso 13.4.2.1.9.1.1.6

Escribe $x^{3} - 27 x + 54$ como un conjunto de factores.

$(x + 6) ((x - 3) (x^{2} + 3 x - 18)) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.1.2

Factoriza $x^{2} + 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 13.4.2.1.9.1.2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 13.4.2.1.9.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $3$ .

$- 3, 6$

Paso 13.4.2.1.9.1.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 6) ((x - 3) ((x - 3) (x + 6))) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.1.3

Combina factores semejantes.

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Paso 13.4.2.1.9.1.3.1

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.1.3.2

Eleva $x - 3$ a la potencia de $1$ .

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.1.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 6) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 6)) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.1.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$(x + 6) ({(x - 3)}^{2} (x + 6)) = 0$

Paso 13.4.2.1.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 6) {(x - 3)}^{2} (x + 6) = 0$

Paso 13.4.2.1.10

Combina exponentes.

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Paso 13.4.2.1.10.1

Eleva $x + 6$ a la potencia de $1$ .

$(x + 6) (x + 6) {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.1.10.2

Eleva $x + 6$ a la potencia de $1$ .

$(x + 6) (x + 6) {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.1.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 6)}^{1 + 1} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.1.10.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.3

Establece ${(x + 6)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.4.2.3.1

Establece ${(x + 6)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.3.2

Resuelve ${(x + 6)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 13.4.2.3.2.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 13.4.2.3.2.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 13.4.2.4

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.4.2.4.1

Establece ${(x - 3)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Paso 13.4.2.4.2

Resuelve ${(x - 3)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 13.4.2.4.2.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 13.4.2.4.2.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 13.4.2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 6)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadera.

$x = - 6, 3$

Paso 13.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 6$

Paso 14

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x - 3) (x + 6)$

Paso 15

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916$ .

$x = 3, - 6$

Paso 16