Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} + 5 x + 4$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $4$ y cuya suma es $5$ .

$1, 4$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 2^{2}) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Paso 3

Simplifica el denominador.

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Paso 3.1

Factoriza $9$ de $9 x^{2} - 27 x - 36$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $9$ de $9 x^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) - 27 x - 36}$

Paso 3.1.2

Factoriza $9$ de $- 27 x$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) + 9 (- 3 x) - 36}$

Paso 3.1.3

Factoriza $9$ de $- 36$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} + 9 (- 3 x) + 9 \cdot - 4}$

Paso 3.1.4

Factoriza $9$ de $9 x^{2} + 9 (- 3 x)$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4}$

Paso 3.1.5

Factoriza $9$ de $9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x - 4)}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 3.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 ((x - 4) (x + 1))}$

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x - 4) (x + 1)}$

Paso 4

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1), 9 (x - 4) (x + 1)$

Paso 5

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 7

$9$ tiene factores de $3$ y $3$ .

$3 \cdot 3$

Paso 8

Multiplica $3$ por $3$ .

$9$

Paso 9

El factor para $x + 2$ es $x + 2$ en sí mismo.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 10

El factor para $x - 2$ es $x - 2$ en sí mismo.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ ocurre $1$ vez.

Paso 11

El factor para $3 x + 1$ es $3 x + 1$ en sí mismo.

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 12

El factor para $x - 4$ es $x - 4$ en sí mismo.

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 13

El factor para $x + 1$ es $x + 1$ en sí mismo.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocurre $1$ vez.

Paso 14

El MCM de $x + 2, x - 2, 3 x + 1, x - 4, x + 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$

Paso 15

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$9 (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$