Álgebra Ejemplos

${(3 - 2 x)}^{6}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(3 - 2 x)}^{6}$ , $n = 6$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $7$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $3$ y $b$ en la expresión $- 2 x$ .

$1 {(3)}^{6} {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(3)}^{6}$ por $1$ .

${(3)}^{6} {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.2

Eleva $3$ a la potencia de $6$ .

$729 {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.3

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$729 ({(- 2)}^{0} x^{0}) + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$729 (1 x^{0}) + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.5

Multiplica $x^{0}$ por $1$ .

$729 x^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.6

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$729 \cdot 1 + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.7

Multiplica $729$ por $1$ .

$729 + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.8

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$729 + 6 \cdot 243 {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.9

Multiplica $6$ por $243$ .

$729 + 1458 {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.10

Simplifica.

$729 + 1458 (- 2 x) + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.11

Multiplica $- 2$ por $1458$ .

$729 - 2916 x + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.12

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$729 - 2916 x + 15 \cdot 81 {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.13

Multiplica $15$ por $81$ .

$729 - 2916 x + 1215 {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.14

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 1215 ({(- 2)}^{2} x^{2}) + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.15

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$729 - 2916 x + 1215 (4 x^{2}) + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.16

Multiplica $4$ por $1215$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.17

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 20 \cdot 27 {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.18

Multiplica $20$ por $27$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.19

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 ({(- 2)}^{3} x^{3}) + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.20

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 (- 8 x^{3}) + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.21

Multiplica $- 8$ por $540$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.22

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 15 \cdot 9 {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.23

Multiplica $15$ por $9$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.24

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 ({(- 2)}^{4} x^{4}) + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.25

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 (16 x^{4}) + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.26

Multiplica $16$ por $135$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.27

Evalúa el exponente.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 6 \cdot 3 {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.28

Multiplica $6$ por $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.29

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 ({(- 2)}^{5} x^{5}) + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.30

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 (- 32 x^{5}) + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.31

Multiplica $- 32$ por $18$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.32

Multiplica ${(3)}^{0}$ por $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.33

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 1 {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.34

Multiplica ${(- 2 x)}^{6}$ por $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(- 2 x)}^{6}$

Paso 4.35

Aplica la regla del producto a $- 2 x$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(- 2)}^{6} x^{6}$

Paso 4.36

Eleva $- 2$ a la potencia de $6$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 64 x^{6}$