Álgebra Ejemplos

${(m + \frac{1}{m})}^{6}$

Paso 1

El triángulo de Pascal se puede visualizar de la siguiente manera:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

El triángulo puede usarse para calcular los coeficientes de la expansión de ${(a + b)}^{n}$ al tomar el exponente $n$ y sumar $1$ . Los coeficientes se corresponderán con la línea $n + 1$ del triángulo. Para ${(m + \frac{1}{m})}^{6}$ , $n = 6$ de modo que los coeficientes de la expansión se corresponderán con la línea $7$ .

Paso 2

La expansión sigue la regla ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Los valores de los coeficientes, desde el triángulo, son $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Paso 3

Sustituye los valores reales de $a$ , $m$ y $b$ en la expresión $\frac{1}{m}$ .

$1 {(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Multiplica ${(m)}^{6}$ por $1$ .

${(m)}^{6} {(\frac{1}{m})}^{0} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} \frac{1^{0}}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$m^{6} \frac{1}{m^{0}} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$m^{6} \frac{1}{1} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.5

Divide $1$ por $1$ .

$m^{6} \cdot 1 + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.6

Multiplica $m^{6}$ por $1$ .

$m^{6} + 6 {(m)}^{5} {(\frac{1}{m})}^{1} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.7

Simplifica.

$m^{6} + 6 m^{5} \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.8

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 4.8.1

Factoriza $m$ de $6 m^{5}$ .

$m^{6} + m (6 m^{4}) \frac{1}{m} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.8.2

Cancela el factor común.

Paso 4.8.3

Reescribe la expresión.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 {(m)}^{4} {(\frac{1}{m})}^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.9

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1^{2}}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{4} \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.11

Cancela el factor común de $m^{2}$ .

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Paso 4.11.1

Factoriza $m^{2}$ de $15 m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.11.2

Cancela el factor común.

$m^{6} + 6 m^{4} + m^{2} (15 m^{2}) \frac{1}{m^{2}} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.11.3

Reescribe la expresión.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 {(m)}^{3} {(\frac{1}{m})}^{3} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.12

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1^{3}}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.13

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 m^{3} \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.14

Cancela el factor común de $m^{3}$ .

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Paso 4.14.1

Factoriza $m^{3}$ de $20 m^{3}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.14.2

Cancela el factor común.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + m^{3} \cdot 20 \frac{1}{m^{3}} + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.14.3

Reescribe la expresión.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 {(m)}^{2} {(\frac{1}{m})}^{4} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.15

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1^{4}}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 m^{2} \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.17

Cancela el factor común de $m^{2}$ .

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Paso 4.17.1

Factoriza $m^{2}$ de $15 m^{2}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{4}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.17.2

Factoriza $m^{2}$ de $m^{4}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.17.3

Cancela el factor común.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + m^{2} \cdot 15 \frac{1}{m^{2} m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.17.4

Reescribe la expresión.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + 15 \frac{1}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.18

Combina $15$ y $\frac{1}{m^{2}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 {(m)}^{1} {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.19

Simplifica.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m {(\frac{1}{m})}^{5} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.20

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1^{5}}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 m \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.22

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 4.22.1

Factoriza $m$ de $6 m$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m^{5}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.22.2

Factoriza $m$ de $m^{5}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.22.3

Cancela el factor común.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + m \cdot 6 \frac{1}{m \cdot m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.22.4

Reescribe la expresión.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + 6 \frac{1}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.23

Combina $6$ y $\frac{1}{m^{4}}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.24

Multiplica ${(m)}^{0}$ por $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(m)}^{0} {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.25

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + 1 {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.26

Multiplica ${(\frac{1}{m})}^{6}$ por $1$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + {(\frac{1}{m})}^{6}$

Paso 4.27

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{m}$ .

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1^{6}}{m^{6}}$

Paso 4.28

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$m^{6} + 6 m^{4} + 15 m^{2} + 20 + \frac{15}{m^{2}} + \frac{6}{m^{4}} + \frac{1}{m^{6}}$