Álgebra Ejemplos

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$

Paso 1

Establece $x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4$ igual a $0$ .

$x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} - 16 x - 4 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$4 x^{3} - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza.

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Paso 2.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 3 u - 4 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $u^{2} - 3 u - 4$ con el método AC.

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Paso 2.1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 2.1.7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 1) = 0$

Paso 2.1.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.9

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Paso 2.1.11.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.11.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (4 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (4 x + x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.12

Reordena los términos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 4 x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 4$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.4.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.4.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $4$ de $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.5.2.5.1.4.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Paso 2.5.2.5.3

Simplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) (x^{2} + 4 x + 1) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = - 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 2$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 2 + \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 2 - \sqrt{3}$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3