Álgebra Ejemplos

$f (x) = 0.25 {(2 x - 15)}^{2} + 150$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 x - 15)}^{2}$ como $(2 x - 15) (2 x - 15)$ .

$f (x) = 0.25 ((2 x - 15) (2 x - 15)) + 150$

Paso 1.2

Expande $(2 x - 15) (2 x - 15)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x - 15) - 15 (2 x - 15)) + 150$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x - 15)) + 150$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 15$ por $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $2$ por $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x - 15 \cdot - 15) + 150$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 15$ por $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x + 225) + 150$

Paso 1.3.2

Resta $30 x$ de $- 30 x$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 60 x + 225) + 150$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) = 0.25 (4 x^{2}) + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $0.25 (4 x^{2})$ .

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Paso 1.5.1.1

Multiplica $4$ por $0.25$ .

$f (x) = 1 x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f (x) = x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 60$ por $0.25$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 0.25 \cdot 225 + 150$

Paso 1.5.3

Multiplica $0.25$ por $225$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 56.25 + 150$

Paso 2

Suma $56.25$ y $150$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 206.25$

Paso 3

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 4

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Paso 4.3

Simplifica $- \frac{- 15}{2 (1)}$ .

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = - \frac{- 15}{2}$

Paso 4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - - \frac{15}{2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $- - \frac{15}{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Paso 5

Evalúa $f (\frac{15}{2})$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{15}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{15}{2}) = {(\frac{15}{2})}^{2} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{15^{2}}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Paso 5.2.1.2

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Paso 5.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $- 15 (\frac{15}{2})$ .

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Paso 5.2.1.4.1

Combina $- 15$ y $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 15 \cdot 15}{2} + 206.25$

Paso 5.2.1.4.2

Multiplica $- 15$ por $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Paso 5.2.1.5

Cancela el factor común de $- 225$ y $2$ .

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Paso 5.2.1.5.1

Reescribe $- 225$ como $1 (- 225)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 (- 225)}{2} + 206.25$

Paso 5.2.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.1.5.2.1

Reescribe $2$ como $1 (2)$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Paso 5.2.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Paso 5.2.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Paso 5.2.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225}{2} + 206.25$

Paso 5.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $\frac{225}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - (\frac{225}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 206.25$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $\frac{225}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 206.25$

Paso 5.2.2.3

Escribe $206.25$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1}$

Paso 5.2.2.4

Multiplica $\frac{206.25}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 5.2.2.5

Multiplica $\frac{206.25}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{4} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 225 \cdot 2 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $- 225$ por $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $206.25$ por $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 825}{4}$

Paso 5.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.5.1

Resta $450$ de $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 225 + 825}{4}$

Paso 5.2.5.2

Suma $- 225$ y $825$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{600}{4}$

Paso 5.2.5.3

Divide $600$ por $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = 150$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $150$ .

$150$

Paso 6

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(\frac{15}{2}, 150)$

Paso 7