Álgebra Ejemplos

$(5, 0.12)$ , $(5, 22)$ , $(5, 7)$

Paso 1

Hay dos ecuaciones generales para una elipse.

Ecuación de elipse horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Ecuación de elipse vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 2

$a$ es la distancia entre el vértice $(5, 22)$ y el punto central $(5, 0.12)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$a = \sqrt{{(5 - 5)}^{2} + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Resta $5$ de $5$ .

$a = \sqrt{0^{2} + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Paso 2.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$a = \sqrt{0 + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Paso 2.3.3

Resta $0.12$ de $22$ .

$a = \sqrt{0 + {21.88}^{2}}$

Paso 2.3.4

Eleva $21.88$ a la potencia de $2$ .

$a = \sqrt{0 + 478.7344}$

Paso 2.3.5

Suma $0$ y $478.7344$ .

$a = \sqrt{478.7344}$

Paso 3

$c$ es la distancia entre el enfoque $(5, 7)$ y el centro $(5, 0.12)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 3.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$c = \sqrt{{(5 - 5)}^{2} + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Resta $5$ de $5$ .

$c = \sqrt{0^{2} + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$c = \sqrt{0 + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Resta $0.12$ de $7$ .

$c = \sqrt{0 + {6.88}^{2}}$

Paso 3.3.4

Eleva $6.88$ a la potencia de $2$ .

$c = \sqrt{0 + 47.3344}$

Paso 3.3.5

Suma $0$ y $47.3344$ .

$c = \sqrt{47.3344}$

Paso 4

Mediante la ecuación $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , sustituye $\sqrt{478.7344}$ por $a$ y $\sqrt{47.3344}$ por $c$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe la ecuación como ${(\sqrt{478.7344})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$ .

${(\sqrt{478.7344})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.2

Reescribe ${\sqrt{478.7344}}^{2}$ como $478.7344$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{478.7344}$ como ${478.7344}^{\frac{1}{2}}$ .

${({478.7344}^{\frac{1}{2}})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${478.7344}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

${478.7344}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

${478.7344}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

${478.7344}^{1} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.2.5

Evalúa el exponente.

$478.7344 - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Paso 4.3

Reescribe ${\sqrt{47.3344}}^{2}$ como $47.3344$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{47.3344}$ como ${47.3344}^{\frac{1}{2}}$ .

$478.7344 - b^{2} = {({47.3344}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 4.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.4.1

Cancela el factor común.

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.3.4.2

Reescribe la expresión.

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{1}$

Paso 4.3.5

Evalúa el exponente.

$478.7344 - b^{2} = 47.3344$

Paso 4.4

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Resta $478.7344$ de ambos lados de la ecuación.

$- b^{2} = 47.3344 - 478.7344$

Paso 4.4.2

Resta $478.7344$ de $47.3344$ .

$- b^{2} = - 431.4$

Paso 4.5

Divide cada término en $- b^{2} = - 431.4$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Divide cada término en $- b^{2} = - 431.4$ por $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Paso 4.5.2.2

Divide $b^{2}$ por $1$ .

$b^{2} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.1

Divide $- 431.4$ por $- 1$ .

$b^{2} = 431.4$

Paso 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{431.4}$

Paso 4.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$b = \sqrt{431.4}$

Paso 4.7.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$b = - \sqrt{431.4}$

Paso 4.7.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$b = \sqrt{431.4}, - \sqrt{431.4}$

Paso 5

$b$ es una distancia, lo que significa que debe ser un número positivo.

$b = \sqrt{431.4}$

Paso 6

La pendiente de la línea entre el foco $(5, 7)$ y el centro $(5, 0.12)$ determina si la elipse es vertical u horizontal. Si la pendiente es $0$ , la gráfica es horizontal. Si la pendiente es indefinida, la gráfica es vertical.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

La pendiente es igual al cambio en $y$ sobre el cambio en $x$ , o elevación sobre avance.

$m = \frac{cambio en y}{cambio en x}$

Paso 6.2

El cambio en $x$ es igual a la diferencia en las coordenadas x (también llamada "avance") y el cambio en $y$ es igual a la diferencia en las coordenadas y (también llamada "elevación").

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Paso 6.3

Sustituye los valores de $x$ y $y$ en la ecuación para obtener la pendiente.

$m = \frac{0.12 - (7)}{5 - (5)}$

Paso 6.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{0.12 - (7)}{5 - 5}$

Paso 6.4.2

Resta $5$ de $5$ .

$\frac{0.12 - (7)}{0}$

Paso 6.4.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

Paso 6.5

La ecuación general para una elipse vertical es $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 7

Sustituye los valores $h = 5$ , $k = 0.12$ , $a = \sqrt{478.7344}$ y $b = \sqrt{431.4}$ en $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obtener la ecuación de la elipse $\frac{{(y - (0.12))}^{2}}{{(\sqrt{478.7344})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - (0.12))}^{2}}{{(\sqrt{478.7344})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8

Simplifica para obtener la ecuación final de la elipse.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Multiplica $- 1$ por $0.12$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{\sqrt{478.7344}}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.2

Reescribe ${\sqrt{478.7344}}^{2}$ como $478.7344$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{478.7344}$ como ${478.7344}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{({478.7344}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.3

Multiplica por $1$ .

$\frac{1 {(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.4

Factoriza $478.7344$ de $478.7344$ .

$\frac{1 {(y - 0.12)}^{2}}{478.7344 (1)} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.5

Separa las fracciones.

$\frac{1}{478.7344} \cdot \frac{{(y - 0.12)}^{2}}{1} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.6

Divide $1$ por $478.7344$ .

$0.00208884 (\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{1}) + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.7

Divide ${(y - 0.12)}^{2}$ por $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Paso 8.8

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{\sqrt{431.4}}^{2}} = 1$

Paso 8.9

Reescribe ${\sqrt{431.4}}^{2}$ como $431.4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{431.4}$ como ${431.4}^{\frac{1}{2}}$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{({431.4}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Paso 8.9.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Paso 8.9.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.9.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.9.4.1

Cancela el factor común.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Paso 8.9.4.2

Reescribe la expresión.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Paso 8.9.5

Evalúa el exponente.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Paso 8.10

Multiplica por $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1 {(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Paso 8.11

Factoriza $431.4$ de $431.4$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1 {(x - 5)}^{2}}{431.4 (1)} = 1$

Paso 8.12

Separa las fracciones.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1}{431.4} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = 1$

Paso 8.13

Divide $1$ por $431.4$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + 0.00231803 (\frac{{(x - 5)}^{2}}{1}) = 1$

Paso 8.14

Divide ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + 0.00231803 {(x - 5)}^{2} = 1$

Paso 9