Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (\sqrt[3]{x}) (x + 1)$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (x + 1)]$

Paso 2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ y $g (x) = x + 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 3

Diferencia.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 3.4.2

Multiplica $\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})$ por $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{d}{d x} [\log_{2} (x^{\frac{1}{3}})]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \log_{2} (x)$ y $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.2

La derivada de $\log_{2} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Paso 9.2

Resta $3$ de $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Paso 11

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Paso 12

Multiplica $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}} \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 (x^{\frac{1}{3}} \ln (2))}$

Paso 13

Mueve $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} \ln (2) x^{\frac{2}{3}}}$

Paso 14

Simplifica el denominador.

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Paso 14.1

Multiplica $x^{\frac{1}{3}}$ por $x^{\frac{2}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 14.1.1

Mueve $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) \ln (2)}$

Paso 14.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \ln (2)}$

Paso 14.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}} \ln (2)}$

Paso 14.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}} \ln (2)}$

Paso 14.1.5

Divide $3$ por $3$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x^{1} \ln (2)}$

Paso 14.2

Simplifica $3 x^{1} \ln (2)$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + (x + 1) \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + x \frac{1}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Paso 15.2

Combina los términos.

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Paso 15.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Paso 15.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 15.2.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{x}{3 x \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Paso 15.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + 1 \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Paso 15.2.3

Multiplica $\frac{1}{3 x \ln (2)}$ por $1$ .

$\log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)} + \frac{1}{3 x \ln (2)}$

Paso 15.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{3 x \ln (2)} + \log_{2} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{1}{3 \ln (2)}$