Álgebra Ejemplos

$f (x) = \frac{64}{\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5 x^{2} + 7 x + 8}$ como ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 1.2

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{64}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}]$

Paso 1.3

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.3.1

Reescribe $\frac{1}{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Paso 1.3.2

Multiplica los exponentes en ${({(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Paso 1.3.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Paso 1.3.2.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 1$ .

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Paso 1.3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$64 \frac{d}{d x} [{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ y $g (x) = 5 x^{2} + 7 x + 8$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 7 x + 8$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 6.2

Resta $3$ de $- 1$ .

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 7

Combina fracciones.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$64 (- \frac{1}{3} {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 7.2

Combina ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$64 (- \frac{{(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 7.3.1

Mueve ${(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 (- \frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 7.3.2

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$- 64 (\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8])$

Paso 7.4

Combina $\frac{1}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ y $- 64$ .

$\frac{- 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Paso 7.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 7 x + 8]$

Paso 8

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 7 x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 11

Multiplica $2$ por $5$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 12

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 14

Multiplica $7$ por $1$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 15

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7 + 0)$

Paso 16

Suma $10 x + 7$ y $0$ .

$- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Reordena los factores de $- \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}} (10 x + 7)$ .

$- (10 x + 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- (10 x) - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.3

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$(- 10 x - 1 \cdot 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.4

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$(- 10 x - 7) \frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.5

Multiplica $- 10 x - 7$ por $\frac{64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{(- 10 x - 7) \cdot 64}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.6

Mueve $64$ a la izquierda de $- 10 x - 7$ .

$\frac{64 \cdot (- 10 x - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.7

Factoriza $- 1$ de $- 10 x$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.8

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x) - 1 (7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.9

Factoriza $- 1$ de $- (10 x) - 1 (7)$ .

$\frac{64 (- (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.10

Reescribe $- (10 x + 7)$ como $- 1 (10 x + 7)$ .

$\frac{64 (- 1 (10 x + 7))}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$

Paso 17.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{64 (10 x + 7)}{3 {(5 x^{2} + 7 x + 8)}^{\frac{4}{3}}}$