Álgebra Ejemplos

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x + 6) = 2$

Paso 1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x + 6) - 2 = 0$

Paso 2

Simplifica $\log_{4} (x) + \log_{4} (x + 6) - 2$ .

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Paso 2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x + 6)) - 2 = 0$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 6) - 2 = 0$

Paso 2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot 6) - 2 = 0$

Paso 2.2.3

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + 6 x) - 2 = 0$

Paso 3

Establece el argumento en $\log_{4} (x^{2} + 6 x)$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} + 6 x \leq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} + 6 x = 0$

Paso 4.2

Factoriza $x$ de $x^{2} + 6 x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x + 6 x = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 6 = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$x (x + 6) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 4.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.5

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.5.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 4.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 6$

Paso 4.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

Paso 4.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 4.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{2} + 6 (- 8) \leq 0$

Paso 4.8.1.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 4.8.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{2} + 6 (- 3) \leq 0$

Paso 4.8.2.3

$- 9$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 4.8.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{2} + 6 (2) \leq 0$

Paso 4.8.3.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - 6$ Falso

$- 6 < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 4.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 \leq x \leq 0$

Paso 5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$- 6 \leq x \leq 0$

$[- 6, 0]$

Paso 6