Álgebra Ejemplos

$f (x) = 15 x^{17} + 41 x^{12} + 13 x^{3} - 10$

Paso 1

Comprueba el coeficiente principal de la función. Este número es el coeficiente de la expresión con mayor grado.

Grado más grande: $17$

Coeficiente principal: $15$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común.

$f (x) = \frac{15 x^{17}}{15} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} + \frac{- 10}{15}$

Paso 2.1.2

Divide $x^{17}$ por $1$ .

$f (x) = x^{17} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} + \frac{- 10}{15}$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $- 10$ y $15$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $5$ de $- 10$ .

$f (x) = x^{17} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} + \frac{5 (- 2)}{15}$

Paso 2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$f (x) = x^{17} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 3}$

Paso 2.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x) = x^{17} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} + \frac{5 \cdot - 2}{5 \cdot 3}$

Paso 2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x) = x^{17} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} + \frac{- 2}{3}$

Paso 2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (x) = x^{17} + \frac{41 x^{12}}{15} + \frac{13 x^{3}}{15} - \frac{2}{3}$

Paso 3

Crea una lista de los coeficientes de la función excepto el coeficiente principal de $1$ .

$\frac{41}{15}, \frac{13}{15}, - \frac{2}{3}$

Paso 4

Hay dos opciones de cota, $b_{1}$ y $b_{2}$ , la menor de las cuales es la respuesta. Para calcular la primera opción de cota, obtén el valor absoluto del coeficiente más grande de la lista de coeficientes. Luego, suma $1$ .

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Paso 4.1

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{1} = | - \frac{2}{3} |, | \frac{13}{15} |, | \frac{41}{15} |$

Paso 4.2

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{1} = | \frac{41}{15} |$

Paso 4.3

$\frac{41}{15}$ es aproximadamente $2.7\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{1} = \frac{41}{15} + 1$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$b_{1} = \frac{41}{15} + \frac{15}{15}$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{1} = \frac{41 + 15}{15}$

Paso 4.6

Suma $41$ y $15$ .

$b_{1} = \frac{56}{15}$

Paso 5

Para calcular la segunda opción de cota, suma los valores absolutos de los coeficientes de la lista de coeficientes. Si la suma es mayor que $1$ , usa ese número. De lo contrario, usa $1$ .

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

$\frac{41}{15}$ es aproximadamente $2.7\overline{3}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{2} = \frac{41}{15} + | \frac{13}{15} | + | - \frac{2}{3} |$

Paso 5.1.2

$\frac{13}{15}$ es aproximadamente $0.8\overline{6}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$b_{2} = \frac{41}{15} + \frac{13}{15} + | - \frac{2}{3} |$

Paso 5.1.3

$- \frac{2}{3}$ es aproximadamente $- 0.\overline{6}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{2}{3}$ y elimina el valor absoluto.

$b_{2} = \frac{41}{15} + \frac{13}{15} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = \frac{41 + 13}{15} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2.2

Suma $41$ y $13$ .

$b_{2} = \frac{54}{15} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $54$ y $15$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$b_{2} = \frac{3 (18)}{15} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$b_{2} = \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$b_{2} = \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 5} + \frac{2}{3}$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$b_{2} = \frac{18}{5} + \frac{2}{3}$

Paso 5.3

Para escribir $\frac{18}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$b_{2} = \frac{18}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Paso 5.4

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$b_{2} = \frac{18}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.5

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.5.1

Multiplica $\frac{18}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$b_{2} = \frac{18 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.5.2

Multiplica $5$ por $3$ .

$b_{2} = \frac{18 \cdot 3}{15} + \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 5.5.3

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$b_{2} = \frac{18 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Paso 5.5.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$b_{2} = \frac{18 \cdot 3}{15} + \frac{2 \cdot 5}{15}$

Paso 5.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$b_{2} = \frac{18 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{15}$

Paso 5.7

Simplifica el numerador.

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Paso 5.7.1

Multiplica $18$ por $3$ .

$b_{2} = \frac{54 + 2 \cdot 5}{15}$

Paso 5.7.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$b_{2} = \frac{54 + 10}{15}$

Paso 5.7.3

Suma $54$ y $10$ .

$b_{2} = \frac{64}{15}$

Paso 5.8

Organiza los términos en orden ascendente.

$b_{2} = 1, \frac{64}{15}$

Paso 5.9

El valor máximo es el mayor valor en el conjunto de datos ordenado.

$b_{2} = \frac{64}{15}$

Paso 6

Resta la opción de cota inferior entre $b_{1} = \frac{56}{15}$ y $b_{2} = \frac{64}{15}$ .

Cota inferior: $\frac{56}{15}$

Paso 7

Cada raíz real en $f (x) = 15 x^{17} + 41 x^{12} + 13 x^{3} - 10$ se encuentra entre $- \frac{56}{15}$ y $\frac{56}{15}$ .

$- \frac{56}{15}$ y $\frac{56}{15}$