Álgebra Ejemplos

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Paso 1

Resuelve $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

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Paso 1.1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Resta $x$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Paso 1.1.2

Suma $2$ a ambos lados de la desigualdad.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Paso 1.2

Simplifica $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

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Paso 1.2.1

Para escribir $- x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.2

Combina $- x$ y $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $- x \cdot - 1$ .

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Paso 1.2.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.4.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.4.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Paso 1.2.5

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.4

Suma $x$ y $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.5

Resta $2$ de $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.6

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.7.6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 1.2.7.6.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.6.1.2

Reescribe $5$ como $- 1$ más $6$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.7.6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.7.6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.8

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.9

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.10

Factoriza $- 1$ de $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.11

Reescribe $- (2 x + 1)$ como $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Paso 1.3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Paso 1.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 1.5

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 1.6

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 1.7

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 1.8

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.8.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.8.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.9

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.10

Consolida las soluciones.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Paso 1.11

Obtén el dominio de $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

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Paso 1.11.1

Establece el denominador en $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 x - 1 = 0$

Paso 1.11.2

Resuelve $x$

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Paso 1.11.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 1.11.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.11.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 1.11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 1.11.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Paso 1.12

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Paso 1.13

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 1.13.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.13.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 1.13.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Paso 1.13.1.3

$- 0.\overline{714285}$ del lado izquierdo no es menor que $- 5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.13.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.13.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 1.13.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Paso 1.13.2.3

$- 5$ del lado izquierdo es menor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.13.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.13.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{1}{2} < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 1.13.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Paso 1.13.3.3

$1.\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 1.13.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 1.13.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 1.13.4.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Paso 1.13.4.3

$0.\overline{45}$ del lado izquierdo es menor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 1.13.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

$x < - \frac{1}{2}$ Falso

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Verdadero

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falso

$x > 3$ Verdadero

Paso 1.14

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ o $x > 3$

Paso 2

Usa la desigualdad $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ para crear la notación de conjunto.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Paso 3